位置/スケール/形状パラメータの数学的定義は何ですか？

場所/スケール/形状パラメータの正確な定義を理解しようとしています（たとえばパレートタイプIでは、は形状パラメータと呼ばれ、はスケールパラメータです）。しかし、私が参照した本（Cambridge Dictionary of Statistics、HMC's Introduction to Mathematical Statistics、Feller's An Introduction to Probability Theory and its Applicationsなど）のみが、これらのパラメータの説明的な定義を提供しているようです（ロケーションパラメータは、Fellerのセンタリングパラメータと呼ばれています））。ウィキペディアは、cdfとpdfの観点から定義を提供しましたが、ソースは提供されていません。 $a$ $c$

非パラメトリック統計（HMCのCh.10など）の概念に基づいて、位置/スケール/形状パラメーターは次のように定義できると思います。

レッツ累積分布関数と確率変数。Aパラメーター、あれば機能的であるが、位置パラメータであるあり、場合はスケールパラメータですであり、位置でもスケールでもない場合は、形状パラメータです。 $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$

私は正しいですか？または、無関係な概念を混乱させましたか？

mathematical-statistics nonparametric definition

— フランシス
ソース

私の直感は、そのような汎関数の存在はパラメーターのパラメーター化まで一意であるということです。そのような汎関数が常に存在するかどうかはわかりませんが、必ずしも線形であるとは限りません。また、locationパラメータの2番目のプロパティは必要ないと思います。

— Gumeo

@Guðmundur場所パラメーターの2番目のプロパティが想定されておらず、が最初のプロパティを満たす関数である場合、すべての実、（として定義すべての分布に対して）も最初のプロパティを満たしますが、は一意ではありません。

T

$T$

b

$b$

T + b

$T + b$

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$

F

$F$

T

$T$

— whuber

@whuber私はそれを逃した...私はあなたに同意する。

— Gumeo

@whuberしかし、は一意である必要がありますか？たとえば対称分布の場合、は平均と中央値であり、これらは異なる関数です。

T

$T$

μ

$\mu$

— フランシス

@Francis平均と中央値の両方が定義されている対称分布のセットでは、それらは一致するため、同じ関数と見なすことができます。それでも、ロケーションパラメータは一意である必要があるという意味に異議を唱えるのは正しいと私は思います。

— whuber

@GuðmundurEinarssonによって指摘されているように、これらが最初、2番目、3番目のモーメント（の一部の関数）に対応していることはよくあります。ただし、例外があります。たとえば、コーシー分布の場合、Evans、Hastings、およびPeacock（2000）は、最初のパラメーターを位置パラメーターと呼びますが、平均ではなく中央値を表します。コーシー分布の平均値も定義されていません。

よりやさしいが正確ではない説明は次のようになります：

位置パラメータは、分布全体を左または右にシフトします
スケールパラメータは、分布全体を圧縮または伸張します
形状パラメータは、他の方法で分布の形状を変更します。

Merran Evans、Nicholas Hastings、およびBrian Peacock（2000）Statistical Distributions、第3版。ワイリー。

— マーティンビュイス
ソース

中央値の場合、（逆が存在する場合）を定義できます。これは、および（チェックしやすい用：）私はこれがコーシー分布に対して位置パラメーターがどのように定義されているのかを疑っています（それがあなたがゴーシーによって意味していることですよね？）。

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$

— フランシス

私の間違い：ゴーシーは確かにコーシーだったはずだ。答えを編集して修正しました。

— Maarten Buis、2015年

@Maartenあなたはあなたの答えを変更したいかもしれません、私はそれ以上の混乱を引き起こさないように私を削除しました。

— Gumeo