一定の平均値を持つ時系列の名前は何ですか？

の平均が存在し、すべての時間について一定であるランダムプロセスを考えます。つまり、すべての時間および時間シフト（または「遅れ」）。高いモーメントや分布関数にはこれ以上の条件を課しません。そのようなプロセスをどのように説明できますか？「弱い定常」（つまり、2次の定常性）よりも弱い意味でのみ定常です。 $\{X_t\}$ $\mathbb{E}(X_t)$ $t$ $\mathbb{E}(X_t)=\mathbb{E}(X_{t+\tau})$ $t$ $\tau$

他の形式の定常性には多くの名前があります。たとえば、弱い場合に「広義の定常」または「共分散定常」を追加することもできます。したがって、いくつかの可能な用語が当てはまると思いますが、考えられるすべての用語には欠点があります。

一次固定、または注文一方に固定は、「二次固定」と「順に静止に類似している」は、しばしばより高いモーメントのために使用される製剤。しかし、平均値が一定のプロセス（ここでは例）で使用される「1次定常」を見てきたが、信号処理で異なる意味で一般的に使用され、検索エンジンのヒットの大部分を提供するフィールド。私がチェックしたすべての信号処理の本は、一次分布関数が時間に対して不変である場合、つまり、すべての時間、と値シフトします $n$ $F_{X(t)}(x)=F_{X(t+\tau)}(x)$ $t$ $\tau$ $x$ 。これは、不変平均を必要とする条件とはかなり異なります。平均が存在する限り、はるかに厳しい条件です。彼らはまた、を満たす2次分布関数を指すように「2次定常性」を定義しました。すべての時間、、シフト、および値および ; これは（適切な瞬間が存在する場合）、時間とは無関係である任意のラグでの平均と共分散を必要とするよりも強い条件であり、「広義の定常性」という用語を予約しました。" -order"が次のことを指しているかどうかは、明らかに目を見張らなければならない
$F_{X (t_{1}), X (t_{2})} (x_{1}, x_{2}) = F_{X (t_{1} + τ), X (t_{2} + τ)} (x_{1}, x_{2})$ $F_{X(t_1),X(t_2)}(x_1, x_2) = F_{X(t_1 + \tau),X(t_2 + \tau)}(x_1, x_2)$ $t_1$ $t_2$ $\tau$ $x_1$ $x_2$ $n^\text{th}$ 混乱の可能性が高い分布または瞬間。特に、「一次定常」は分布の意味で主に使用されていることがわかります。おそらく、我々は明確にすることができますが、私は、例えば、「1次モーメントの静止」と「のためのただ一つの関連するヒットには検索エンジンのヒット見つからなかった最初の瞬間を静止」。
平均定常は「共分散定常」に類似して機能する可能性がありますが、以前の使用法を確立するのは困難でした。検索結果は、「ゼロ平均定常プロセス」によって圧倒されましたが、これはまったく異なります。私が望む意味で使用されている平均値のステーショナリーには、従来の用語では低すぎる、ダースに関連する結果が約12個見つかりました。
「レベル」は「平均応答」を指すと広く理解されているため（たとえば、回帰コンテキストでは）、一定のレベルは一見すると一義的に明確に見えます。ただし、ランダムウォーク（ドリフトなし） whereます。母集団では、すべてのについてであることがわかっていますが、特定の実現では $X_t = \sum_{i=0}^{t}\varepsilon_i$ $\{\varepsilon_i\} \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$ $\mathbb{E}(X_t)=0$ $t$ $\{X_t\}$ 、ショックが持続すると、「酔っぱらいの歩行」が発生し、平均から大きく外れる可能性があります。図のように複数の実現が見られる場合、真の平均値がゼロのままであるという事実はより明確です。特定のサンプルを1つだけ見た場合、以下のほとんどのシリーズでは、「一定レベル」はすぐに思い浮かぶ説明ではありません。さらに、Google学者の検索用語「一定レベルの時系列」は2つの論文しか見つけられなかったため、形容詞的に使用されているようには見えません。

「は[...]プロセス」または「は[...]」という文章を明確で明確な方法でどのように記入できますか？私が見逃した別の用語はありますか、または上記のいずれか-おそらく適切な説明の後-は十分に機能しますか？「一瞬の静止」は見事な明快さだと思いましたが、その使用法は明らかに少数派です。同様の理由で「平均静止」が好きでしたが、以前の使用の証拠を確立するのは困難でした。 $X_t$ $X_t$

— シルバーフィッシュ
ソース

プロットのRコードが必要な場合は、試してください

k <- 8; n <- 30;  x <- apply(matrix(rnorm(k*n), nrow=n), 2, cumsum) ; matplot(x, col=1:k, type="o", lty=1, pch="x", xlab=expression("Time index,  "*t), ylab=expression("Random walk,  "*x[t]))

— Silverfish

定常プロセスに関するウィキペディアの記事は、これに役立つ言語を提供しています。これは、用語が従来のものであるかどうかについての懸念に対処するのに役立ちます。

— whuber

私はそのようなプロセスを定常的であると呼ぶことに慣れていますが、これは個人的な経験にすぎません。

— Richard Hardy

@whuber確かに。ウィキペディアでは、信号処理の本が行う「2次」と「共分散」の定常を区別していません。プリーストリーの要約が正確であれば、「1次まで」は問題なく機能するはずです。ウィキペディアの作者は、しかし、信号処理のバックグラウンドから来ていませんでした。私のQで気づかなかったことの1つは、地理空間統計に関する本を見ると、「一次定常」（時間インデックスではなく空間全体ではあるが同じ考え方）を、「平均定常」の種類に使用したことです。欲しいです。

— Silverfish 2015

できるだけ明確にしたい場合は、「弱く1次の定常」が正しく理解される可能性があります。簡潔にしたい場合は、いつでも独自の用語を定義できます。たとえば、最初に「この論文/本/モノグラフでは、時系列プロセスは期待が存在し、常にで有限であり一定である場合、霧と呼ばれます ;この定数は、呼び出された平均値の「。そうすれば、誤解を恐れることなく、安全に（そして喜んで）「を平均的な ...の霧の多いプロセスにする」と書くことができます。

X_{t}

$X_t$

E (X_{t})

$\mathbb{E}(X_t)$

t

$t$

t

$t$

X_{t}

$X_t$

X_{t}

$X_t$

μ

$\mu$

— whuber

すべてのケースをカバーする一般的な用語はないと思います。たとえば、ホワイトノイズジェネレーターを考えてみます。その場合、それをホワイトノイズと呼びます。ホワイトノイズがAMラジオバンドのホワイトノイズなどの自然発生源に由来する場合、重ね合わせた日中、季節、太陽のスポット（11年）の太陽の変動、およびラジオ放送による人為的およびビート干渉などの影響があります。。

たとえば、リンクのグラフOPによって言及されたものは、地震のように、振幅変調されたホワイトノイズのように見えます。私は個人的には、周波数領域または位相領域でこのような曲線を調べ、一連の周波数範囲の振幅を直接観察することで信号構造についてより多くのことを明らかにするため、それを時間の経過に伴う進化として説明します定常性について考えるのではなく、主に概念上のコンパクトさのために、検出限界に関して時間とともに進化します。統計的検定の魅力を理解しています。ただし、リンクのように、変化する周波数領域の概念を不完全に説明するには、基本的な特性として定常性の概念を発展させる試みをやや限定的であるように見せるために、膨大なテストとさまざまな基準が必要です。それからどうやってボード線図、位相図？

それでも、定常性の「主な」違反が発生すると、信号処理はより複雑になります。患者の死亡、信号停止、ランダムウォークの継続など。このようなプロセスは、奇数の高調波の無限和や、ゼロ周波数への減少としてさまざまに説明するより、非定常性として説明する方が簡単です。二次定常性を文書化するための多くの文献がないというOPの不満は完全に合理的です。何が通常の定常性を構成するかについてさえ完全な合意はないようです。たとえば、NISTは、「定常プロセスには、平均、分散、および自己相関構造が時間とともに変化しないという特性がある」と主張しています。このサイトの他の人は「自己相関は非定常性を引き起こさない」と主張している、RVの混合分布は、「このプロセスは明らかに定常的ではありませんが、変数は独立しているため、すべてのラグの自己相関はゼロです。」自動非相関は通常、非定常性の追加の基準として「タックオン」されているため、プロセスを定義するためにどれだけ必要かつ十分であるかについて十分に考慮されていないため、これには問題があります。これについての私のアドバイスは、最初にプロセスを観察し、次にそれを説明し、「に関して定常的/非定常的」などの修飾子でしゃがんだフレーズを使用することです。。

— カール
ソース