歪度、尖度、および平均からの標準偏差値の数

正規分布でよく知られているように、確率質量の68％は平均の1標準偏差以内、95％は2標準偏差以内、99.7％は3標準偏差以内です。

しかし、私はいくつかの経験的分布を持っています。それはレプトクールで負に歪んでいます。そのような状況で、平均のそれほど多くの標準偏差内にある確率質量の量を計算するために、それらの高次モーメントに基づく式はありますか？

私には測定値があり、それが中点からどのくらい離れているかについての感覚を与えたいと思います（平均または他の中心傾向の測定値）。

これはできますか？

サンプル値を（プラグイン平均）/ SDに接続し、ビニングとカウントを行うだけで、平均からいくつのSD値が常に計算できます。$-$

法線（ガウス）を引用するような正確な数値の事実は、一般に、密度関数、分布関数、分位関数の1つ以上を分析的にではなくても数値的に知ることに依存しています。

ただし、歪度または尖度を知るだけで利用できる一般的な関係はありません。歪度と尖度は、より高いモーメントも変化する可能性があるため、一般に分布の形式を特定しません。

これは、平均からの絶対偏差の中央値が必ずしも尖度に関係しないことを示す正確な答えです。

分布のファミリー考える、Zは、離散分布を有しているが$X = \mu + \sigma Z$$Z$

、確率（wp）$Z = -0.5$$.25$

、wp$= +0.5$$.25$

、WP 0.25 - θ /$= -1.2$$.25 - \theta/2$

、wp .25 - θ /$= +1.2$$.25 - \theta/2$

$= -\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

$= +\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

$X$$\mu$$\sigma$$\theta$$(-\infty, +\infty)$$(0, +\infty)$$(0,.5)$

このファミリーにおいて、、V R （X ）= σ 2、及び平均からの中央値絶対偏差が0.5 σ。$E(X) = \mu$$Var(X) = \sigma^2$$0.5\sigma$

の尖度は次のとおりです。$X$

尖度。$= E(Z^4) = .5^4 * .5 + 1.2^4 * (.5 - \theta) + (0.155/\theta + 1.44)^2 * \theta$

この家族の中で

（i）尖度はように無限大になる傾向があります。$\theta \rightarrow 0$

（ii）「肩」内（つまり、範囲内）の分布は、すべての尖度の値に対して一定です。それは単に2つのポイントμ ± σ / 2であり、それぞれWP 0.25です。これは、尖度のより大きな尖度が肩から離れて、肩と尾の間の範囲に同時に移動することを意味すると述べている尖度の1つの解釈に対する反例を提供します。$\mu \pm \sigma$$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm 1.2\sigma$$\mu \pm 0.5\sigma$$0.25$

$0.5\sigma$