1300年に生まれた特定の人から子孫になる可能性はどのくらいですか？

26

言い換えれば、以下に基づいて、pとは何ですか？

これを人類学や社会科学ではなく数学の問題にし、問題を単純化するために、兄弟と最初のいとこが交尾することはなく、常に同じから交配相手が選択されることを除いて、母集団全体で交配相手が等しい確率で選択されると仮定します世代。

$n_1$ 初期人口
$g$ 世代数。
$c$ カップルあたりの子供の平均数。（答えに必要な場合、すべてのカップルがまったく同じ数の子供を持っていると仮定します。）
$z$ 子供がいない人、およびカップルの一部とみなされない人の割合。
$n_2$ 最終世代の人口。（またはいずれかを指定する必要があり、（私は）他を計算できると思います。） $n_2$ $z$
$p$ 最終世代の誰かが初期世代の特定の人の子孫である確率。

もちろん、これらの変数は変更、省略、または追加できます。簡単にするために、とは時間とともに変化しないと仮定しています。私はこれが非常に大雑把な見積もりを取得することを理解していますが、それは出発点です。 $c$ $z$

パート2（さらなる研究の提案）：

合致がグローバルに均一な確率で選択されていないことをどのように考えることができますか？実際には、仲間は同じ地理的領域、社会経済的背景、人種、および宗教的背景である可能性が高くなります。これの実際の確率を調査せずに、これらの要因の変数はどのように作用するのでしょうか？これはどれほど重要ですか？

probability stochastic-processes genetics

— xpda
ソース

2

これは宿題ですか？それ以外の場合、コンテキストは何ですか？

— デビッドルバウアー

1

@ジョン：編集してくれてありがとう。（このサイトや他のサイトで）広く行われているコンセンサスは、単にhomeworkタグを追加するために質問を編集するのではないということです。関係者全員がOPにそれを行わせる方が良いでしょう。このメタスレッドをまだ見たことがない場合は、興味があるかもしれません。

— 枢機

ただ興味があるだけ。私は学生ではなく、これは誰の宿題でもありません。私はそれが宿題を暗示する方法を見ることができますが、余分なクレジットについて冗談を言っていました。

— xpda

3

答えの最初の感覚をつかむために、降下によって与えられた祖先に関係しない母集団の割合

を考えてください。

の母集団に対して、最初は

。ランダムミキシングでは、

は生成ごとに二乗されます。

開始母集団では、これは、

世代（約

〜

年）後に

がほぼ確実に

ことを意味します。

f

$f$

f = (n - 1) / n

$f = (n-1)/n$

n

$n$

f

$f$

n = 10^{8}

$n=10^8$

f

$f$

0

$0$

32

$32$

600

$600$

800

$800$

— whuber

1

ユニークな姓が絶滅する確率については、学術的な研究があると思います。提起された問題と同一ではありませんが、それは興味深い洞察を提供するかもしれません（しかし、残念ながら私はそれがどこから来たのか覚えていません）。奇妙なことに、私は...これらの研究は、感染症のまん延の背後にある数学にいくつかの洞察につながったと考えている

— マイケル・マッゴーワン

13

この質問には天文学的な小さなものからほぼ100％に至るまでさまざまな回答が寄せられているため、改善されたソリューションの参考とインスピレーションとして役立つシミュレーションを提供したいと思います。

これらを「炎のプロット」と呼びます。それぞれが個別の世代で繁殖する集団内の遺伝物質の分散を文書化します。プロットは、人を描いた細い垂直セグメントの配列です。各行は世代を表し、最初の行が最上部にあります。各世代の子孫は、そのすぐ下の行にあります。

最初は、サイズ母集団の1人だけがマークされ、赤でプロットされます。（見にくいですが、常に一番上の行の右側にプロットされます。）直接の子孫も同様に赤で描画されます。それらは完全にランダムな位置に現れます。他の子孫は白でプロットされます。母集団のサイズは世代ごとに異なる可能性があるため、右側の灰色の境界線を使用して空きスペースを埋めます。 $n$

これは、20の独立したシミュレーション結果の配列です。

フレームプロット

これらのシミュレーションの9つで最終的に赤色の遺伝物質が消滅し、残りの11（55％）に生存者が残った。（あるシナリオでは、左下では、全人口が最終的に死亡したように見えます。）しかし、生存者がいたところでは、ほとんどすべての人口に赤い遺伝物質が含まれていました。これは、赤色遺伝子を含む最後の世代からランダムに選択された個人の可能性が約50％であることの証拠を提供します。

シミュレーションは、各世代の初めに生存率と平均出生率をランダムに決定することにより機能します。生存率はBeta（6,2）分布から得られます。平均75％です。この数値は、成人になる前の死亡率と子供がいない人の両方を反映しています。出生率はGamma（2.8、1）分布から取得されるため、平均は2.8です。結果は、一般的に高い死亡率を補うには不十分な生殖能力の残酷な話です。これは非常に悲観的で最悪のモデルを表していますが、（コメントで示唆したように）人口の成長能力は必須ではありません。各世代で重要なのは、人口内の赤の割合です。

繁殖をモデル化するために、現在の人口は、希望するサイズの単純なランダムサンプルを取得することにより、生存者に間引きされます。これらの生存者はランダムにペアリングされます（ペアリング後に残された奇数のサバイバーは再現できません）。各ペアは、平均が世代の出生率であるポアソン分布から引き出された多数の子を生成します。いずれかの親に赤いマーカーが含まれている場合、すべての子はそれを継承します。これは、いずれかの親を介した直接降下のアイデアをモデル化します。

この例は512の母集団から始まり、11世代（開始を含む12行）のシミュレーションを実行します。わずかから人のこのシミュレーションのバリエーションは、生存率と出生率の異なる量を使用して、すべて同様の特性を示します：世代の終わり（9この場合）、すべての赤が消滅する可能性は約1/3ありますが、そうでない場合、人口の大部分は赤です。さらに2、3世代以内に、ほぼすべての人口が赤くなり、赤のままになります（または、人口が完全に死んでしまいます）。 $n=8$ $2^{14} = 16,384$ $\log_2(n)$

ちなみに、1世代で75％以下の生存率は空想的ではありません。1347年後半、腺ペストに感染したネズミは最初にアジアからヨーロッパへと進みました。次の3年間で、ヨーロッパの人口の10％から50％が死亡しました。ペストはその後数百年にわたってほぼ一世代に一度再発しました（通常、同じ極端な死亡率ではありませんでした）。

コード

シミュレーションはMathematica 8で作成されました：

randomPairs[s_List] := Partition[s[[Ordering[RandomReal[{0, 1}, Length[s]]]]], 2];

next[s_List, survive_, nKids_] := Flatten[ConstantArray[Max[#], 
   RandomVariate[PoissonDistribution[nKids]]] & /@ 
   randomPairs[RandomSample[s, Ceiling[survive Length[s]]]]] 

Partition[Table[
   With[{n = 6}, ArrayPlot[NestList[next[#, RandomVariate[BetaDistribution[6, 2]], 
        RandomVariate[GammaDistribution[3.2, 1]]] &, 
        Join[ConstantArray[0, 2^n - 1], ConstantArray[1, 1]], n + 2], 
     AspectRatio -> 2^(n/3)/(2 n), 
     ColorRules -> {1 -> RGBColor[.6, .1, .1]},  
     Background -> RGBColor[.9, .9, .9]]
    ], {i, 1, 20}
   ], 4] // TableForm

— ウーバー
ソース

1

このようなモデリングが最善のアプローチだと思います。（私にとっては）数学よりもはるかにシンプルで楽しいものであり、合致の選択を制限する要因を導入するのがはるかに簡単になるはずです。これに飛び込む前に、推奨事項、注意事項、またはその他のアドバイスはありますか？

— xpda

3

@xpda数学ソリューションは、何が重要で何が重要でないかについての洞察を提供します。例えば、彼らはあなたが必ずしも巨大な母集団をモデル化する必要がないことを示します。また、変動性が果たす役割も示します。これは、分析的に扱うのが難しく、シミュレーションで重要になります。

— whuber

1

@whuber Mathematicaでシミュレーションを実行しましたか？コードを投稿してもよろしいですか？

— 想定

1

@Maxコードが起動しました。コメントがないことをおpoびします。あなたは、各実行した場合randomPairsと、nextテストデータには、その機能が明らかになるはずです。使用に注意NestList反復するためにはnext、複数の世代を生成するために。

— whuber

3

先祖を数えようとするとどうなりますか？

あなたは2人の両親、祖父母4、8人の偉大な祖父母、...あなたが戻って行くのであれば持っているの世代、あなたが持っているの先祖を。平均世代の長さを年と仮定します。その後、1300年から約世代になり、その時点で約2億6800万人の祖先が生まれました。 $n$ $2^n$ $25$ $28$

これは正しい球場ですが、1300年の地球の人口が均一に混ざり合っていなかったため、この計算には何か問題があります。

それでも、私が思うに、これは1300年で、ランダムに選ばれた人は比取ることによって、あなたの祖先である確率にバインドされ、正しい上位につながることができます 1300年に人口に $2^{28}$

— vqv
ソース

2

当時の人口の多くが互いに孤立していることを考えると非常に重要であり、結婚を避ける機会ははるかに少なかった。

— dcl

2

OPがイギリス系で、イギリスの人口が約1300人で、人口が100万人を超えていると仮定しましょう。（大飢amineの前に言いましょう）。それはあなたの分析をどのように変えますか？

— dassouki

百万、億ません。それは正しい球場です。

2^{28} \approx 268

$2^{28}\approx 268$

— whuber

ど！答えを編集しました。計算はまだ近親無視しますが、これは上位1300でランダムに選ばれた人は端数を取ることによって、あなたの先祖である確率に拘束正しい与えるかもしれない：

または

億を。

2^{28} / 3

$2^{28} / 3$

4

$4$

— vqv

2

後ろに行くほど、その時代に生きていた遺伝子をうまく引き継いだ人に関係している可能性が高くなります。あなたが1300年に住んでいた40億人の祖先のうち、それらの多くはあなたの家系図に何百（何千、何百万ではないにしても）回現れます。遺伝的ドリフトと、誰かに直接関係している回数は、祖先が誰であるかよりも遺伝コードの違いにより関連している可能性が高いです。

— ティム
ソース

0

確率は1〜zで、この問題のすべての子孫は上記の祖先に関連しています。生殖の初期率が（1-z）であるものは、初期集団の誰かの子孫である確率であり、最終集団で生存する可能性は不確実な確率のみです。

エラドの答えに同意しますが、今は質問されていない質問に答えていると思います-つまり、あなたの前身の特定の生殖および人口の制約を与えられた場合、あなたが生きている確率は何ですか？

— ウィパ
ソース

n_{1}

$n_1$

z

$z$

z

$z$

g

$g$

また、明確にするために、問題は、最終世代の特定の人が初期世代の特定の人の子孫である確率を見つけることです。

— xpda

1

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

@Wipa Descartesのコギト、エルゴサムは、私の先祖に対する制約が100％であることを考えると、私が生きている確率を強く示唆します:-)

— whuber

@whuber、あなたは正しいです。同じ問題について話していると思います。私が明確にしたかったのは、最初の世代の誰かが最後の世代に生きている子孫を持つ可能性を探していないということです。Wipaが（1-z）を見つけて答えを見つけたのではないかと思いました。

— xpda

0

p > (1 - z) \times \frac{\frac{1}{n_{1} (1 - z)}}{2} = \frac{2}{n_{1}}

$p > {(1-z)} \times {{{1} \over {n_1(1-z)}} \over {2}} = {2 \over n_1}$

回答の説明：
今日の特定の人を考えると、彼らは1300年に少なくとも 2人の子孫であることが確実です。

1300年に特定の人物を選択する場合、その人物が決して再現しない可能性が（1-z）あり、他の用語は「親カップル」の数、およびその人物がこのカップルに関連する確率（1 /カップルの数）。

p > \frac{2}{n_{1}}

$p > {2 \over n_1}$

n_{k + 1} = \frac{n_{k} (1 - z) \times c}{2} = \frac{n_{1} (1 - z)^{k} c^{k}}{2^{k}}

$n_{k+1} = {{n_k(1-z)\times c} \over 2} = {n_1(1-z)^kc^k \over 2^k}$

例としていくつかの数字を挿入してみましょう。仮定のために、私が使用：
グラム= 28（1300と2011の間で25年の世代）
のn = 360M（世界人口のウィキペディアから1300年における推定）
のz = 0.2、C = 2.77 = 8（ない実際のデータが、で終わるん2011年には約7Bの人）

に結果として得られます：

p > 2 / 360, 000, 000 = 5.56 \times 10^{- 9}

$p > 2 / 360,000,000 = 5.56 \times 10^{-9}$

読んでくれてありがとう、エラド

— エラド
ソース

c

$c$

z

$z$

上記の元の質問に基づきます。c=カップルあたりの子供の平均数、z =子供がいない人の割合

— Erad

2

1 / n

$1/n$

1 / 360 M \approx 10^{- 9}

$1/360M\approx 10^{-9}$

3

360, 000, 000 / (2.66 \times 10^{249}) ≪ 1

$360,000,000 / (2.66 \times 10^{249}) \ll 1$ 外国人のクローンが導入された場合を除き、明らかな方法の間違った（で、道に沿って...）。

— whuber

1

@Eradコメントでは、今日の人口のすべてが1300年に世界のごく一部から派生していると仮定しているように見えます。それはもっともらしいことではありません。しかし、議論のために、そして極端なケースを検討するために、今日の誰もが1300年に生きている1組のカップル「アダム」と「イブ」だけから降りていることが知られていると仮定します。 AdamまたはEveが質問の「特定の人物」である場合、または0％の場合は100％。この可能性は、1300年の人口全体で平均すると、まだ約

10^{- 8}

$10^{-8}$ 、計算よりもはるかに高い。

— whuber

0

これは、フラクタルを数学的に解くことを求めているため、非常に興味深い質問です。人生の有名なゲームなど。

各世代が関連する母集団の％ $p_1={2 \over n_1}$ そして限界で生成が近づきます $\lim_{k \to \infty } p_k = (1-z)$ 。

私たちが示す場合 $p_k$ 世代の誰かの確率として $k$ 最初の人口に関連する。また、簡単にするために、兄弟といとこのルールを緩和します（後で追加できます）。次に：

p_{1} = \frac{2}{n_{1}}

$p_1 = {2 \over n_1}$

新世代の各人には、初期集団に正確に 2つの祖先があるためです。

p_{2} = r e l a t i v e s \times \frac{2}{n_{2}} + n o n . r e l a t i v e s \times \frac{4}{n_{2}}

$p_2 = relatives \times {2 \over n_2} + non.relatives \times {4 \over n_2}$ In this case relatives could be calculated as:

r e l a t i v e s = \frac{(\binom{c}{2}) \times \frac{n}{c}}{(\binom{n}{2})} = \frac{c - 1}{n - 1}

$relatives = {\binom{c}{2} \times {n \over c} \over \binom{n}{2}} = {c-1 \over n-1}$ Or in other words, the number of sibling combinations, times the number of siblings family, divided by the total mating combinations.

p_{3} = i m m e d i a t e . r e l a t i v e s \times \frac{4}{n_{3}} + c o u s i n s \times \frac{6}{n_{3}} + n o n . r e l a t i v e s \times \frac{8}{n_{3}}

$p_3 = immediate.relatives \times {4 \over n_3} + cousins \times {6 \over n_3} + non.relatives \times {8 \over n_3}$

With each generation, the probability to be related to someone at the initial population will undoubtedly grow, but at a decreasing pace. This is because the probability to draw "relatives" which are coming from the same or similar tree will grow.

Lets use ethnicity as an example. Lets say we know for a fact someone is 100% Caucasian. At generation 28 he is most likely related to a significant portion of the Caucasian population in 1300 (As shown by @whuber simulation). Lets say he is marrying someone who is 100% of a different ethnicity. Their offspring will be linked to approximately double the number of people they are linked to from 1300.

Another interesting thought is that given the human (homosapien) race started from ~600 people in Africa, then we are most likely a genetic permutation of all of them who successfully mated.

— Erad
ソース