囚人のパラドックス

私はエクササイズを与えられて、それを完全に理解することができません。

囚人のパラドックス

独房監禁のA、B、Cの3人の囚人が同じ日に死刑を宣告されたが、祝日があるので、知事は赦免を与えられると決定した。囚人はこのことを知らされているが、彼らは処刑の予定された日まで彼らのうちのどれが救われるべきか知らないだろうと伝えられた。

囚人Aは看守に「私は少なくとも他の2人の囚人が処刑されることをすでに知っているので、あなたが処刑される人の名前を私に言った場合、あなたは私自身の処刑についての情報を私に与えなかったでしょう」 。

看守はこれを受け入れ、Cは必ず死ぬだろうと彼に話します。

次に、「Cが処刑されることを知る前に、恩赦を受ける確率は3分の1でした。今、私はBまたは私自身がオッズが1対2に改善されたことが許されることを知っています。」

しかし看守は、「もし私がBが死ぬだろうと言っていたら、同様の結論に達することができ、BかCのどちらかに答える必要があったので、なぜあなたは尋ねる必要があったのか？」と指摘しました。

Aが恩赦を受ける可能性はどのようなもので、その理由は何ですか？あなたが正しいことを他の人に納得させる説明を作成します。

ベイズの定理、信念のネットワーク、または常識によってこれに取り組むことができます。どちらの方法を選択しても、条件付き確率という一見単純な概念の理解が深まるはずです。

これが私の分析です：

これはモンティホールの問題のように見えますが、完全ではありません。I change my place with BCが死ぬと言われた後でAが言った場合、彼は2/3の確率で救われる。彼がそうしない場合、私は彼がモンティホール問題であなたの選択を変えないときのように、彼が生きる可能性は1/3であると言います。しかし同時に、彼は2人の男のグループに属しており、1人は死ぬはずなので、彼の可能性は1/2であると言いたくなります。

だからパラドックスはまだここにあります、あなたはこれにどのように取り組みますか？また、私はこれについてどのように信念ネットワークを作ることができるかわからないので、それを見て興味があります。

最初は、確率が等しい3つの可能性があります。

• Aが解放されます（確率）$1/3$
• Bが解放されます（確率）$1/3$
• Cは解放されます（確率）$1/3$

メッセージの約束により、異なる確率で4つの可能性があります。

• Aは解放され、AはBが実行されると通知されます（確率）$1/6$
• Aは解放され、AはCが実行されることを通知されます（確率）$1/6$
• Bは解放され、AはCが実行されると通知されます（確率）$1/3$
• Cが解放され、AにBが実行されることが通知される（確率）$1/3$

「AはCが実行されると言われている」という条件付き

• Aは解放され、AはCが実行されると通知されます（確率）$1/3$
• Bが解放され、AにCが実行されることが通知される（確率）$2/3$

したがって、メッセージAはB（モンティホール問題）と交換したいが、実行できない可能性があり、元の確率を維持した後。$2/3$

あなたは問題を考えすぎていると思います。それはモンティホールの問題であり、同じ論理が適用されます。

$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$

• $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

$B$

$1$$3$ モンティが山羊を明らかにするために選択されていないドアを開けるかどうかに関係なく、または看守は、ヘンリーが詳細に計算したとおり、Cが実行されるかどうかをAに伝えます。

答えは、Aが許されることを知っているときに、看守がどの囚人に名前を付けるかを選択する方法に依存します。次の2つのルールを検討してください。

1）看守はBとCからランダムに選択し、この場合はたまたまCと言った。その場合、Aが許される可能性は1/3です。

2）看守は常にCと言います。そして、Aが許される可能性は1/2です。

私たちが言われているのは、看守がCを言ったということだけなので、彼が従ったこれらの規則のどれがわからないのか。実際、他のルールがある可能性もあります-おそらく看守はサイコロを振り、6を振った場合にのみCと言います。

他の人が指摘したように、3人の囚人の問題はモンティホールの言い換えです。詳細については、このペーパーのセクション1.7を参照してください。http：//faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

看守がAにCが必ず死ぬと告げると想像してみてください。そして彼はBにCが必ず死ぬと告げる。この場合、AとBがそれぞれ50％の人を赦免することは明らかです。しかし、2つのバージョンの違いは何ですか？

$1/2$$2/3$

$A$$B$$C$$J$$J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. $P(J|A) = \frac{1}{2}$

2. $P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

情報を受け取った後、囚人Cは死ぬであろう、彼の可能性は1/2に変わるが、それは、彼がその情報を得る可能性がすでに2/3であるためである（囚人Cが恩赦を得る可能性の1/3が排除される） ）

そして、2/3 * 1/2は解放される元の確率です。

より説得力があるのは、反対派のアプローチです。

彼が囚人Cが恩赦を得ると言われていると仮定します。
殺されない彼の可能性は何ですか？
看守が嘘をつかず、許しが1つしかない場合、誰もが彼の可能性はゼロであることを認めます。

今回は、1/1の可能性があります。これは、その情報の可能性がすでに1/3であるためです。