シーケンスの減少を証明する（多数の点をプロットすることでサポートされます）

先月私がSEに投稿した質問の多くは、この特定の問題を解決する手助けをすることを目的としています。質問はすべて答えられましたが、それでも解決策は思いつきません。それで、私が直接解決しようとしている問題を尋ねるだけでよいと考えました。

LET、、、（整数）、毎オーバー累積分布関数である 。$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

がすべての（または特定の）でもとともに減少することを証明したい！私が見ることができ、そのに固有の溶液でディラック質量に収束 の場合、。同じに対してを増加させるための累積分布関数のプロットを見ると、すべての累積分布関数が交差しています。値の値について減少する未満の値に対する増加より大きい$\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$（が増加するにつれて）垂直線に収束します。$n$$x_n$

下のプロットであるためのののためのに。もちろん離散プロットですが、見やすくするために線をつないでいます。このプロットを生成するために、MathematicaでNIntegrateを使用しましたが、何らかの理由でMathematicaが元の関数高い値で応答を生成できなかったため、で実行する必要がありました。ヤングの定理に従って、2つは同等である必要があります。私の場合、、。$\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

ご覧のとおり、は、固定点から微小距離まで非常に移動します。以下のように増加、固定小数点減少は（最終的に0になります）。$EX_n$$x_c$$c$

したがって、すべてのについて、がとともに減少することは確かに事実です。しかし、それを証明することはできません。誰かが私を助けてくれますか？（繰り返しになりますが、が1つでも満足します）できない場合でも、この特定の問題が解決できない理由について洞察があれば、その洞察も共有してください。 $EX_n$$n$$c$$c$

これは、Pietro MajerによるMOでここに回答されています。