さまざまな差異の後の回帰係数の解釈

時系列を差分した後に線形回帰係数を解釈する方法（単位根を除去するため）を説明する説明はほとんどありません。単純に、それを正式に述べる必要がないほど単純ですか？

（私はこの質問を知っていますが、それがどの程度一般的であるかはわかりませんでした）。

モデル興味があるとしましょう ここで、はおそらくARMA（p、q）です。興味深いのは、、、...です。具体的には、「 1単位の変化」という観点からの解釈は、、の平均変化をもたらし δ T β 1 β 2 β Pの X I YはT β I iが= 1つの... Pを$Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$$\delta_{t}$$\beta_{1}$$\beta_{2}$$\beta_{p}$$X_{i}$$Y_{t}$$\beta_{i}$$i = 1...p.$

ここで、ユニットルートからの非定常性が疑われるためにを差分する必要があるとしましょう（例：ADFテスト）。次に、同じように、それぞれのも異なるようにする必要があります。 X i $Y_{t}$$X_{it}$

次の場合、の解釈は何ですか？$\beta_{i}$

1. 第1の差分 から取られるとの各？ Y t X i $Y'_{t}$$Y_{t}$$X_{it}$
2. 第2の差分（差分の差分）（）から取られY_ {T}との各X_ {それ}？$Y''_{t}$ X i $Y_{t}$$X_{it}$
3. 季節差（例えば$(1-B^{12})$ 毎月のデータ用）から取得され$Y_{t}$との各$X_{it}$？

編集1

係数の違いと解釈につ​​いて言及しているテキストを1つ見つけました。リンクされた質問とよく似ています。これは、動的回帰を使用したAlan Pankratzの予測119〜120ページからの抜粋です。

タイプしやすいので、1つの独立変数の例を見てみましょう。

から始めると、についても同じことがます。 、Y T - 1 = β 0 + β 1 X T - $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$$y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

したがって、2つを減算すると、ます。そのための解釈係数ないではない変更、それは同じこれらの式の各インチβ 1 β $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

ただし、方程式 の解釈は、方程式の解釈と同じではありません。それが私の言いたいことです。 Δ Y = β 1 Δ $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

だから、変化であるの単位変化のための、それはまたの成長の変化であるの成長の単位変化のため。、Y 、X 、Y $\beta_1$$y$$x$$y$$x$

差異の理由は「技術的」です。シリーズが非定常の場合、OLSでを推定できません。差分系列が静止している場合、私はの推定に使用できる式からの推定値としてとして式ことがあるため、同じ。β 1、Δ Y = β 1つの Δ X β 1 、Y T = β 0 + β 1 X $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$$\beta_1$$\Delta y= \beta_1 \Delta x$$\beta_1$$y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

そのため、系列が非定常の場合、はで推定値を見つけるための「技術的な」トリックです。このトリックは、同じが微分方程式に現れるという事実を利用しています。、Y T = β 0 + β 1 X T β $\beta_1$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

複数の独立変数がある場合、これは明らかに違いはありません。

注：これはすべて、モデルの線形性の結果です場合、なので、は同時に単位のの変化です変更もの成長における単位変化に対するYの成長の変化は、同じである。Δ Y = α Δ X α Y 、X 、X $y=\alpha x + \beta$$\Delta y = \alpha \Delta x$$\alpha$$y$$x$$x$$\alpha$

最終的な伝達関数を取り、それを純粋な右辺の方程式として再表現します。この形式では、PDLまたはADLになります。通訳は通常通り続きます。私はそのオプションをAUTOBOXに実装し、右手側と呼びました。使用したいデータセットとモデルを投稿していただければ、結果を投稿させていただきます。

編集：等価係数の仮説をテストするための例示的な例を提示する：

ここでhttp://www.autobox.com/stack/GASX.ASCから入手できるBox-JenklinsテキストからGASXデータセット（Xが最初、次にY）を取得し、無差別シリーズの伝達関数を推定して取得しました

次に、YとXの両方に単純な差分を導入して取得しました 。係数が同じであるという仮説は拒否されます。係数は似ていますが、まったく同じではありません。次に、MA係数（1の近く）を導入して[1-B]を乗算する代数的な演習を完了しようとしましたが、それでも差のない結果は再現されませんでした。

要約すると、答えは異なりますが、それは、差異のない場合に定数項が省略されているためかもしれません。

2つのホワイトノイズ系列（X1とY1）をシミュレートし、定数項なしでそれらのOLSモデルを推定することにし、取得しました。次に、X1とY1の両方の白いnosieシリーズを統合し、2つの新しいシリーズ（X2とY2）を取得しました。以下は、X2 AND Y2 [ ] [4のOLSモデルの結果です。結果の回帰係数はほぼ同じです（X2、Y2研究での観測が1つ少ないため、わずかな変動です。したがって、ケースが証明されたか（またはそうでないか）拒否）回帰係数は同等です。（X1対Y1）に定数を導入した場合、回帰係数は同じではありませんでした。どうやら、基本ケースに定数を組み込んではならないという要件があります（差異なし）。これらは調査結果は@f coppensに同意します。