最初の差分変数で回帰をどのように解釈しますか？

私には2つの時系列があります：

市場リスクプレミアムのプロキシ（ERP;赤線）
国債によりプロキシされたリスクフリーレート（青線）

長期にわたるリスクプレミアムプロキシとリスクフリーレート

リスクフリーレートがERPを説明できるかどうかをテストしたい。これにより、基本的にTsay（2010年、第3版、96ページ）のアドバイスに従いました：Financial Time Series：

線形回帰モデルを近似し、残差のシリアル相関を確認します。
残差系列が単位根の非定常性である場合、従属変数と説明変数の両方の最初の差を取ります。

最初のステップを実行すると、次の結果が得られます。

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

図から予想されるように、関係は負であり重要です。ただし、残差は連続的に相関しています。

ERPのリスクフリー率の回帰の残差のACF関数

したがって、最初に従属変数と説明変数の両方を違います。ここに私が得るものがあります：

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

そして、残差のACFは次のようになります。

ERPのリスクフリーレートの回帰の残差のACF関数（差分）

この結果は素晴らしく見えます。まず、残差は無相関になりました。第二に、関係は現在より否定的であるようです。

ここに私の質問があります（おそらくあなたはたぶん今疑問に思っています;-)最初の回帰は、「経済的問題は別として」「リスクフリー率が1パーセントポイント上昇すると、ERPは0.65パーセントポイント低下します」と解釈します。実際、これについてしばらく熟考した後、私は2番目の回帰をまったく同じように解釈します（0.96パーセントのポイントが低下します）。この解釈は正しいですか？変数を変換するのは奇妙に感じますが、解釈を変更する必要はありません。しかし、これが正しい場合、結果が変わるのはなぜですか？これは単なる計量経済学的問題の結果ですか？もしそうなら、私の2番目の回帰が「より良い」と思われる理由を誰かが知っていますか？通常、私はあなたがそれを正しく行った後に消える偽の相関関係を持つことができることを常に読みます。ここに、

regression time-series

— クリストフ_J
ソース

回答:

モデルこれらの係数は解釈しやすいと言います。レッツ減算左側の側からとに等しい、、右側から。我々は持っている差分方程式の切片は時間トレンドです。そして、係数は、元のモデルのと同じ解釈になります。

y_{t} = β_{0} + β_{1} x_{t} + β_{2} t + ϵ_{t} .

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Δ y_{t} = β_{1} Δ x_{t} + β_{2} + Δ ϵ_{t} .

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$

Δ x

$\Delta x$

β_{1}

$\beta_1$

エラーが非定常で、、がホワイトノイズである場合、差分誤差はホワイトノイズです。

ϵ_{t} = \sum_{s = 0}^{t - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$

ν_{s}

$\nu_s$

たとえば、誤差が定常的なAR（p）分布を持っている場合、差分誤差項はより複雑な分布を持ち、特に連続相関を保持します。または、元のが既にホワイトノイズ（必要に応じて相関係数が0のAR（1））である場合、差分は誤差間のシリアル相関を引き起こします。 $\epsilon$

これらの理由により、単位根に起因して非定常であるプロセスのみを差分し、いわゆるトレンド定常プロセスに対してトレンド除去を使用することが重要です。

（単位根は系列の分散を変化させ、時間の経過とともに実際に爆発します。ただし、この系列の期待値は一定です。トレンド定常プロセスには反対の特性があります。）

— チャーリー
ソース

素晴らしい回答、説明をありがとう。それは大いに役立ちます。

— クリストフ

+1最後の文は金であり、差異の概念に最初に出会ったとき、それがはっきりと述べられているのを見たと思います。

— ウェイン

チャーリー、いくつかの説明を追加してくれませんか？最初に、「がホワイトノイズである場合、差も同じである」と言います。これはどういう意味ですか？ホワイトノイズプロセスの違いをとると、結果はかなり強く自己相関します！また、定常時系列の「トレンド除去」とはどういう意味ですか？定義上、定常時系列には傾向がないという意味で、これは私には矛盾しているように聞こえます。後者の場合は、シリーズ自体ではなくノイズ構造のみを参照している可能性があります（？）。乾杯。

ϵ

$\epsilon$

— 枢機

素晴らしい点、@ cardinal。編集が行われました。彼らが物事を明確にすることを願っています。

— チャーリー

@Christoph_Jは、あなたはそれを持っている今日はと相関している昨日。あなたのACFはそれを示しています。今日のは、昨日の相関している可能性があります。昨日のは、昨日のと相関しています。そのため、含まれる予測子は、省略された変数と相関しており、省略された変数のバイアスの問題があります。差分により、これらの相関関係が崩れ、変数の省略の問題が回避されます。

y

$y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

— チャーリー

最初の差分により、元の残差に残ると思われる線形トレンドが削除されます。最初の差分により残差の傾向が除去され、基本的に無相関の残差が残っているように見えます。多分、残差の傾向はERPとリスクフリーレートの負の関係の一部を隠しており、それがモデルが差分後により強い関係を示す理由だと考えています。

— マイケル・R・チャーニック
ソース