相関する確率変数の線形結合の分散

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私は証拠を理解しかし、私は、任意の線形結合に一般化を証明するためにどのように理解していません。

V a r （ a バツ + b Y ） = a^{2} V a r （ バツ ） + b^{2} V a r （ Y ） + 2 a b C o v （ バツ 、 Y ） 、

$Var(aX+bY) = a^2Var(X) +b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y),$

ましょうするためのスカラーこと我々はベクトル持っているので、および相関確率変数のベクトルです。次にどのように証明しますか？総和表記とベクトル表記には証明があると思いますか？ $a_i$ $i\in {1,\dots ,n}$ $\underline a$ $\underline X = X_i,\dots ,X_n$

V a r （ a_{1} {バツ}_{1} + \dots a_{ん} {バツ}_{ん} ） = Σ_{私 = 1}^{ん} a_{私}^{2} σ_{私}^{2} + 2 Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j > 私}^{ん} a_{私} a_{j} Cov （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ）

$Var(a_1X_1 + \dots a_nX_n) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j>i}^n a_i a_j \text{ Cov}(X_i,X_j)$

mathematical-statistics variance

— ハトシェプスト
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これは、合計の基本的なプロパティ、期待値の線形性、および分散と共分散の定義を適用するための単なる演習です

\begin{aligned} var (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) & = E [{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i})}^{2}] - {(E [Σ_{私 = 1}^{ん} a_{私} {バツ}_{私}] ）}^{2} & 分散の1つの定義 \\ = E [Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} {バツ}_{私} {バツ}_{j}] - {（ E [Σ_{私 = 1}^{ん} a_{私} {バツ}_{私}] ）}^{2} & 合計の基本的なプロパティ \\ = Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} E [{バツ}_{私} {バツ}_{j}] - {（ Σ_{私 = 1}^{ん} a_{私} E [{バツ}_{私}] ）}^{2} & 期待の直線性 \\ = Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} E [{バツ}_{私} {バツ}_{j}] - Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} E [{バツ}_{私}] E [{バツ}_{j}] & 合計の基本的なプロパティ \\ = Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} （ E [{バツ}_{私} {バツ}_{j}] - E [{バツ}_{私}] E [{バツ}_{j}] ） & 合計を組み合わせる \\ = Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j = 1}^{ん} a_{私} a_{j} cov （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ） & 共分散の定義を適用する \\ = Σ_{私 = 1}^{ん} a_{私}^{2} var （ {バツ}_{私} ） + 2 Σ_{私 = 1}^{ん} Σ_{j ： j > 私}^{ん} a_{私} a_{j} cov （ {バツ}_{私} 、 {バツ}_{j} ） & 合計を再配置 \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) &= E\left[\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right)^2\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{one definition of variance}}\\ &= E\left[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j X_iX_j\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \left(\sum_{i=1}^n a_i E[X_i]\right)^2 &\scriptstyle{\text{linearity of expectation}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j E[X_i]E[X_j] &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j \left(E[X_iX_j] - E[X_i]E[X_j]\right)&\scriptstyle{\text{combine the sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{apply a definition of covariance}}\\ &= \sum_{i=1}^n a_i^2\operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i=1}^n \sum_{j\colon j > i}^n a_ia_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{re-arrange sum}}\\ \end{align}$ 最後のステップでは、が分散として識別されていることに注意してください。

cov (X_{i}, X_{i})

$\operatorname{cov}(X_i,X_i)$

var (X_{i})

$\operatorname{var}(X_i)$

— ディリップ・サルワテ
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6

あなたは実際に行列を使わずに再帰によってそれを行うことができます：

の結果をし、ます。 $\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$ $Y_1=a_2X_2+Y_2$

$\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_1)+\text{Var}(Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,a_2X_2+Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1a_2\text{Cov}(X_1,X_2)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

次に、をして同じ基本的な結果を使用し、最後のステップで $Y_{i-1}=a_iX_i+Y_i$ $Y_{n-1}=a_nX_n$

ベクトルの場合（結果はスカラーでなければなりません）：

$\text{Var}(a'\,X)=a'\,\text{Var}(X)\,a$

または行列を使用して（結果は分散共分散行列になります）：

$\text{Var}(A\,X)=A\,\text{Var}(X)\,A'$

これには、係数が結果の非対角要素のの行であるさまざまな線形結合の共分散を与えるという利点があります。 $A$

一変量の結果しかわからない場合でも、要素ごとにチェックすることで結果を確認できます。

— Glen_b-モニカの復活
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2

基本的に、証明は最初の式と同じです。私はそれが非常に残忍な方法を使用していることを証明します。

$Var(a_1X_1+...+a_nX_n)=E[(a_1X_1+..a_nX_n)^2]-[E(a_1X_1+...+a_nXn)]^2 =E[(a_1X_1)^2+...+(a_nX_n)^2+2a_1a_2X_1X_2+2a_1a_3X_1X_3+...+2a_1a_nX_1X_n+...+2a_{n-1}a_nX_{n-1}X_n]-[a_1E(X1)+...a_nE(X_n)]^2$

$=a_1^2E(X_1^2)+...+a_n^2E(X_n^2)+2a_1a_2E(X_1X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-a_1^2[E(X_1)]^2-...-a_n^2[E(X_n)]^2-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)-...-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

$=a_1^2E(X_1^2)-a_1^2[E(X_1)]^2+...+a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(Xn)]^2+2a_1a_2E(X_1X_2)-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

次に注意してください：

$a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(X_n)]^2=a_n\sigma_n^2$

そして

$2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)=2a_{n-1}a_nCov(X_{n-1},Xn)$

— 深い北
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2

楽しみのために、帰納法による証明！

ましょうステートメントであることが $P(k)$ $Var[\sum_{i=1}^k a_iX_i] = \sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]$

次に、は（自明）真です（あなたは質問でそれで満足していると言いました）。 $P(2)$

P（k）が真であると仮定しましょう。したがって、

$Var[\sum_{i=1}^{k+1} a_iX_i] = Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i + a_{k+1}X_{k+1}]$

$=Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i] + Var[a_{k+1}X_{k+1}] + 2 Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i,a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]+ a_{k+1}^2\sigma_{k+1}^2 + 2Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i, a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j] + 2\sum_{i=1}^ka_ia_{k+1}Cov[X_i, X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^{k+1} \sum _{j>i}^{k+1} a_ia_jCov[X_i, X_j]$

したがって、は真です。 $P(k+1)$

だから、誘導によって、

$Var[\sum_{i=1}^n a_iX_i] = \sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^n \sum _{j>i}^n a_ia_jCov[X_i, X_j]$ すべての整数。 $n \geq 2$

— ジョナサン
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