-on-

11

でおよびの回帰モデルがあり、相関係数はです。 $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

場合及びその後の周りに切り替えられると方程式となる及び、それはまた持っているの値。 $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

も理由を誰かが説明できることを願っています。 $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— マイク
ソース

17

および $b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ なので、です。 $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

多くの統計教科書はこれに触れます。Freedman et al。、Statisticsが好きです。こことこのウィキペディアの記事も参照してください。

— カール
ソース

10

相関係数を確認する13の方法をご覧ください。特に、方法3、4、5が最も重要です。

ロジャース、JL、およびニースワンダー、ワシントン（1988）。相関係数を調べる13の方法。アメリカの統計学者、 42、1、pp。59-66。

— 奇妙な
ソース

2

これはおそらくコメントでした。リンクが死んでいることに注意してください。リンクを更新し、完全な引用を提供しました。詳細に説明したり、リンクが再び機能しなくなった場合でも価値があるように追加情報を提供したりできますか？

— ガン-モニカの回復

2

ロジャース＆Nicewander記事は、当社のサイト上で要約されstats.stackexchange.com/q/70969/22228。

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

多くの紹介文が定義していることを思い出してください

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

$y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

$r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

$(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

$(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

$(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

$(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

$(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

$r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$\sgn$ $+1$ $-1$

— シルバーフィッシュ
ソース

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ここで尋ねられた質問に明示的には触れていませんが、私の答えは興味深いかもしれません。

— Dilip Sarwate、2015年