平均と分散が不明な正規分布のJeffreys Prior

私は以前の分布を調べており、平均と未知の分散が不明な正規分布確率変数のサンプルについて、ジェフリーズを事前に計算しました。私の計算によると、以前のジェフリーズは次のようになっています：ここで、はフィッシャーの情報行列です。

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

しかし、私は出版物や、

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ Kass and Wassermann（1996）のセクション2.2を参照してください。
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ Yang and Berger（1998）の 25ページを参照

未知の平均と分散を持つ正規分布の場合のJeffreys事前として。以前の「実際の」ジェフリーズとは何ですか？

— ヌシグ
ソース

回答:

不一致は、著者がの密度と上の密度のどちらを考慮するかによって説明されると思います。この解釈を支持して、KassとWassermannが書き込む正確なものは YangとBergerは書き込みます $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A.ドンダ
ソース

おかげで、これを見落としてしまいました。ただし、これはと間の不一致を説明していません。

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig 2015年

実際には、の事前を持つことは、次の理由により、以前のを持つことと同じです。以前のジェフリーズの再パラメーター化プロパティ：、は、のヤコビ行列、つまり。

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig 2015年

@Nussig、私は計算をチェックしました、そしてあなたは正しく到着していると思います。また、再パラメーター化は因数すぎないことも正しいです。これを考慮すると、あなたの計算はKassとWassermannに準拠しており、YangとBergerが間違いを犯したと推測できます。前者は定期的にレビューされるジャーナル論文であり、後者はある種の公式コレクションのドラフトであるため、これは理にかなっています。

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— A.ドンダ2015年

KassとWassermannはまた、Jeffreysが変更されたルールを導入したことに注意してください。これにより、位置とスケールのパラメーターを個別に処理する必要があります。これにより、したがってになりますが、。

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— A. Donda 2015年

ジムバーガーはまだ活発な科学者なので、直接彼に確認することができます：stat.duke.edu/~berger

— A.

既存の答えはすでに元の質問によく答えています。物理学者として、私はこの議論に次元論を加えたいと思います。およびを考慮して、実際の1D空間における確率変数の分布を表し、メートルで測定すると、それらは次の次元を持ちますおよび。物理的に正確な事前分布を得るには、適切な次元を持つ必要があります。つまり、ノンパラメトリック事前物理的に可能な唯一の累乗は、次のとおりです。および。 $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
ソース

2番目の式にがあるのはなぜですか？

σ^{3}

$\sigma^{3}$

— cerebrou

$\frac{1}{\sigma^3}$ は以前のジェフリーズです。ただし、実際にはがよく使用されます。これは、事後が比較的単純になるためです。この事前の「直感」は、フラットな事前に対応し。 $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— ジョーンビクラー
ソース

ありがとう、@ Noshgul。事前にフラットについてのポイントを取得し。しかし、「比較的単純な事後」について詳しく説明できますか？私が間違っていない場合、ジェフリーの以前の結果は正逆-事後、つまり前のも、異なるパラメーターを使用するだけで、通常の逆事後になるはずです。

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Nussig

ああ、そうです、それは正逆-につながります。周辺が、自由度nではなくn-1の逆であることがより自然であることがわかりました。とにかく、私は確かに他の事前分布が迷惑なディストリビューションにつながることを示唆したくありませんでした。正直に言って、ジェフリーの前の事後については心から知りませんでした。

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jorne Biccler、2015年