二項分布は、バイナリ選挙をモデル化できるすべての「合理的な」分布の中で可能な限り最小の分散を持っていますか？

人が二者択一をする選挙を想像してみてください。彼らはAに投票するか反対に投票します。その結果、人がAに投票するため、Aの結果はます。$n$$m$$p=m/n$

これらの選挙をモデル化する場合、各人が確率で独立してAに投票し、投票の二項分布につながると想定でき。この分布には、平均と分散ます。$p$

他の仮定も可能です。たとえば、確率自体が何らかの分布（ベータなど）からの確率変数であると想定できます。これはA.のための投票のベータ二項分布につながることができますまたは私はのグループでその人の投票と仮定することができの各グループ、人々が同じ選択を行い、それが確率でAである。これにより、分散がより大きい二項分布が得られます。これらすべてのケースで、結果の分布の分散は、最も単純な二項方式の場合よりも大きくなります。$p$$k$$k$$p$

二項分布の分散が最小であると主張できますか？言い換えると、この主張は、たとえば可能な分布にいくつかの合理的な条件を指定することによって、どういうわけか正確にすることができますか？これらの条件は何でしょうか？

それとも、分散の少ない合理的な分布があるのでしょうか？

私がすることができ、すべての例とき、低分散を想像して人々は、彼らが投票する方法について事前に合意し、そう本当にランダム変数ではなく、一定の数の。その場合、分散はゼロになります。あるいは、ほとんどすべての人が同意したが、同意しなかった人もいるため、周りにわずかな差異がある可能性が。しかし、これは不正行為のように感じます。各人が何らかの意味でランダムに投票する場合など、事前の準備なしで二項よりも小さい分散を持つことができますか？$n$$\text{votes for A}$$m$$m$

いいえ。

有権者が結婚したペアで構成されているとします。夫は集まり、自分たちで無作為に選ぶ妻に反対して投票することにします。結果は常に、候補者ごとに票で、分散はゼロです。$n=2k$$k$

夫が無作為に投票していないので、あなたは反抗するかもしれません。まあ、彼らはそうです-彼らはたまたま妻のランダムな投票と密接に結びついています。それが気になる場合は、夫ごとに10枚の公正なコインを弾かせて、状況を少し変えてください。10人全員が首長である場合、彼は妻と投票します。そうでなければ彼は彼女に反対票を投じる。すべての投票が予測不可能であっても、選挙結果が小さい（ただしゼロではない）分散であることを確認できます。

問題の核心は、2つの投票ブロック、男性と女性の間の負の共分散にあります。