してみましょう

私は現在、線形モデル理論について自己学習しています。驚くべきことの1つは、 $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ はランダムベクトルに対して定義されて $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$ いますが、それ以上のモーメントについての言及がないことです。共分散行列のほかに。

グーグル検索はあまり現れていない。ある $k$ 番目の（生）の瞬間 $\mathbf{Y}$ 考えられ、または私が知らない別のアイデアはありますか？

複雑な質問に対する平面の回答のテキストから学習しています（目次はリンクファイルの17ページから始まります）。「と考え、」によって私が意味されているようなものが $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ 、そうであれば、どのような概念を定義するのでしょうか？私が持っている本は最初の生の瞬間のみをカバーしていますが、一変量確率での私の経験を考えると、を定義する方法に言及がないことや、それを定義する $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ 専門知識がないことは少し不思議です。

さらに、が定義されていない場合、私が知らない関連する概念が代わりに使用されているのでしょうか？ $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$

self-study moments

— クラリネット奏者
ソース

このページでは、未加工モーメントと中心モーメントの関係を示し、中心モーメントの利点について説明します。

— EdM 2015年

@EdMわかりません。それは、私が非常に精通している一変量の瞬間について話しているように見えます。いずれかの配慮があれば、私は疑問に思って

生の瞬間番目（

多変量の場合（すなわち、ランダムベクトル付）、単変量ない場合のためには）、そうであれば、どのような概念が定義されます。

k

$k$

k \geq 2

$k \geq 2$

— クラリネット奏者2015年

関連：mathoverflow.net/questions/202732/...

— アンドリュー・M

私の感覚では、変数の軸に沿った並進に関して不変の統計が最も有用であると考えられているため、生のモーメントは、その有用な特性を持つ中央モーメントほど頻繁には調べられません。この相互検証済みページには、高次の瞬間と関連する問題の広範な議論が含まれています。

— EdM 2015年

「線形モデル理論」と「考慮」によってあなたが意味することを増幅できますか？線形モデルのいくつかのより単純なアプリケーションでは、仮定は

最初の2つのモーメントについてのみ行われますが、一般化線形モデルなどの他のアプリケーションでは、

分布全体に特定の意味を持つ仮定が行われます。

Y

$\mathbf{Y}$

Y

$\mathbf{Y}$

— whuber

回答:

多変量設定における一変量モーメントの適切な類似点は、指数もベクトルとして表示することです。ベクトルの基数とベクトルの指数を含む指数表記は、積の省略形です。 $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \ldots, k_n)$

y^{k} = y_{1}^{k_{1}} y_{2}^{k_{2}} \dots y_{n}^{k_{n}} .

$\mathbf{y}^\mathbf{k} = y_1^{k_1} y_2 ^{k_2} \cdots y_n^{k_n}.$

このようなベクトル場合、確率変数の（生の）モーメントは次のように定義されます。 $\mathbf{k}$ $\mathbf{k}^\text{th}$ $\mathbf{Y}$

μ_{k} = E (Y^{k}) .

$\mu_\mathbf{k} = \mathbb{E}\left(\mathbf{Y}^\mathbf{k}\right).$

そのような定義を動機付けるために、線形関数の1変量モーメントを考えます。 $\mathbf{Y}$

E ({(λ_{1} Y_{1} + \dots + λ_{n} Y_{n})}^{m}) = \sum_{k} (\binom{m}{k}) λ^{k} μ_{k}

$\mathbb{E}\left(\left(\lambda_1 Y_1 + \cdots + \lambda_n Y_n\right)^m\right) = \sum_\mathbf{k} \binom{m}{\mathbf{k}}\lambda^\mathbf{k} \mu_\mathbf{k}$

合計は、すべてにわたって起こるその成分に加算全体非負の数であると $\mathbf{k}$ $m$ は多項式係数です。右側の多変量モーメントの外観は、それらが一変量モーメントの自然で重要な一般化である理由を示しています。 $\binom{m}{\mathbf{k}} = m!/(k_1!k_2!\cdots k_n!)$

これらは常に表示されます。たとえば、と間の共分散は、 $Y_i$ $Y_j$

Cov (Y_{i}, Y_{j}) = E (Y_{i} Y_{j}) - E (Y_{i}) E (Y_{j}) = μ_{k_{i} + k_{j}} - μ_{k_{i}} μ_{k_{j}}

$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}(Y_i Y_j)- \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_j) = \mu_{\mathbf{k}_i + \mathbf{k}_j} - \mu_{\mathbf{k}_i}\mu_{\mathbf{k}_j}$

ここで、とは、1つの場所を除いてすべてゼロであり、示された場所に1つあるインジケーターベクトルです。（場合、同じ式がエレガントにの分散を生成します。） $\mathbf{k}_i$ $\mathbf{k}_j$ $Y_i$ $i=j$

多変量設定に対するすべての単変量モーメントの概念の自然な一般化があります。モーメント生成関数、キュムラント、キュムラント生成関数、中心モーメント、特性関数、それらすべての間の代数的および分析的関係です。

参照

アラン・スチュアートとJ・キース・オード、ケンドールの高度な統計理論、第5版。オックスフォード大学出版局、1987年：ボリュームI、第3章、モーメントとキュムラント。

— whuber
ソース

@whuberのポイントに加えて

1）線形モデル理論が何を伴うのかはわかりませんが、線形モデルでは一般に、0のスキューと0の尖度を持つ通常の確率変数を扱っていることを思い出してください。

2）より一般的には、質問は「どのくらい正確ですか？」という形式の質問です。IIDのサンプルについて説明したいのであれば、平均値だけが欲しいと言えます。あるいは、平均値と平均値の誤差が欲しいと言うこともできます。さらに詳細な代替手段は、手段、手段のエラー、手段のエラーのエラーです。このパターンから、高いモーメントが増加し続ける様子を確認できます。この問題に対する実際の解決策はないので、一般的に人々はレベル2（つまり、平均と分散）で停止します。それは高い瞬間が役に立たないと言っているのではありません。実際、太っぽい分布を含む問題の場合、これらの問題は重要になります。

— シド
ソース