参考資料：逆累積分布関数の末尾

統計で次の結果を見たことがあると思いますが、どこで思い出せないのでしょうか。

場合正の確率変数であり、次いでとき、の累積分布関数である。 $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

これは、等式を使用して幾何学的に見ることは容易であるとの水平カット考慮し積分の曲線下面積の。 $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

この結果の参照と、名前があるかどうか知っていますか？

— ステファンローラン
ソース

「より一般的に」とは、部品による統合の単純なアプリケーションです。リファレンスはほとんど必要ありません！

— whuber

@whuber最初の結果についても参照をお願いしています。

— ステファン・ローラン

stats.stackexchange.com/questions/18438で見たことがあるかもしれません。その結果は、積分の置換によるものです。これも非常に基本的なものであるため、文献で特に言及されていたり、特別な名前が付けられていたりすることは期待できません。

— whuber

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

コメントでイブによって提案された「小さな仕事」を処理するために、ジオメトリは厳密で完全に一般的な証明を示唆しています。

必要に応じて、領域へのすべての参照を積分で置き換え、「任意」への参照を通常のイプシロン-デルタ引数で置き換えることができます。翻訳は簡単です。

$G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

$G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

$E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

$E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

$G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

$\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
$E_{+}$ $T$ $\epsilon$
$x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

$\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
ソース