コインのトスの確率変数の期待値

今日、興味深い問題に遭遇しました。あなたはコインとxのお金を与えられます、あなたが頭を手に入れるならあなたはお金を2倍にし、どんなトスでも尾を引くならあなたは半分を失います。

1. n回の試行でのお金の期待値は何ですか
2. （1）で期待値を超える確率はどれくらいか

これが私がそれに取り組んだ方法です。表と裏の確率は同じです（1/2）。最初のトス後の期待値=したがって、最初のトス後の期待値はです。同様に、5x / 4で2回目のトス期待を繰り返し、2回目のトス後の期待値=$1/2(2*x) + 1/2(1/2*x) = 5x/4$$5x/4$$1/2(2*5x/4) + 1/2(1/2*5x/4) = 25x/16$

あなたが期待される値のシーケンスを取得するよう：、、、...25 x / 16 125 x /$5x/4$$25x/16$$125x/64$

後回の試行、あなたの期待値は次のようになります。（5 n / 4 n）∗ $n$$(5^n/4^n) * x$

場合十分な大きさで、あなたの期待値は、分布の平均に近づく必要があります。したがって、値が期待値より大きい確率はなるはずです。これについてはわかりません。$n$$0.5$

nが十分に大きければ、期待値は分布の平均に近づくはずです。

それは正解です。

したがって、値が期待値より大きい確率は0.5になるはずです。

これは、分布が対称である場合にのみ正しくなります-ゲームではそうではありません。回投げた後の賞金の中央値を考えれば、これは簡単にわかります。$n$

問題はランダムウォークと考えることができます。基本的な1次元ランダムウォークは、整数の実線上のウォークであり、各ポイントでを確率移動します。これは、お金の倍増/半減を無視してを設定した場合に得られるものとまったく同じです。座標系をこの例に再マッピングするだけです。ましょうあなたの最初の出発ポットこと。次に、次の方法で再マッピングします。p p = 0.5 $\pm 1$$p$$p=0.5$$x$

x*2^{-2} = -2
x*2^{-1} = -1 
  x = 0
 x*2 = 1  

つまり、です。ましょう我々は後にゲームから作られているどのくらいのお金を表す、その後、ターンをS n$2^k x=k$$S_n$$n$

場合 2の倍数でない場合、。これを理解するために、10ポンドから始めると仮定します。後巻、唯一可能な値は£5または£20、すなわちである又は。$(n+k)$$Pr(S_n)=0$$n=1$$k=-1$$k=1$

上記の結果は、ランダムウォークの標準的な結果です。詳細については、Googleのランダムウォークがあります。また、ランダムウォーク理論から、リターンの中央値をに計算できますが、これは期待値とは異なります。$x$

注：私はあなたがあなたのお金をいつでも半分にすることができると仮定しました。たとえば、1ペンス、0.5ペンス、0.25ペンスはすべて許可されます。この仮定を取り除くと、吸収壁のあるランダムウォークになります。

完全性のために

プロセスのRでの簡単なシミュレーションは次のとおりです。

#Simulate 10 throws with a starting amount of x=money=10
#n=10
simulate = function(){
  #money won/lost in a single game
  money = 10
  for(i in 1:10){
    if(runif(1) < 0.5)
      money = money/2
    else
      money = 2*money
  }
  return(money)
}

#The Money vector keeps track of all the games
#N is the number of games we play
N = 1000
Money = numeric(N)
for(i in 1:N)
  Money[i]= simulate()

mean(Money);median(Money)
#Probabilities
#Simulated
table(Money)/1000
#Exact
2^{-10}*choose(10,10/2)

#Plot the simulations
plot(Money)

してみましょう後に富こと我々が想定し、このゲームのプレー取るためにここに誘惑され、と勉強サイズの技術革新で、対称ランダムウォークとして。結局のところ、これは2番目の質問では問題ありませんが、最初の質問では問題ありません。少し作業すると、漸近的にことが。このことから、は正規分布する漸近的なログであると結論付けることはできません$S_k$$k$$S_0 = 1.$$X_k = \log{S_k}$$X_k$$\pm \log{2}$$X_k \sim \mathcal{N}(0,k(\log{2})^2)$$S_k$$\mu = 0, \sigma = \log{2}\sqrt{k}.$ログ操作は制限と交換されません。それがなかった場合は、の期待値になるだろう通りではなく、非常に、ほぼ正しいです。$S_k$$\exp{(k \log{2}\log{2}/2)}$

ただし、この方法は分位数、および質問（2）のような他の確率の質問を見つけるのにます。我々は最後の不等式の左側の量は、漸近的に標準標準であるため、がその平均を超える確率は近づきここで、は標準法線のCDFです。これはかなり早くゼロに近づきます。$S_k$$S_k \ge (\frac{5}{4})^k \Leftrightarrow X_k \ge k \log{(5/4)} \Leftrightarrow X_k / \sqrt{k}\log{2} \ge \sqrt{k}\log{(5/4})/\log{2}.$$S_k$$1 - \Phi{(\sqrt{k}\log{(5/4)}/\log{2})},$$\Phi$

これを確認するMatlabコード：

top_k = 512;
nsamps = 8192;
innovs = log(2) * cumsum(sign(randn(top_k,nsamps)),1);
s_k = exp(innovs);
k_vals = (1:top_k)';
mean_v = (5/4) .^ k_vals;
exceed = bsxfun(@ge,s_k,mean_v);
prob_g = mean(double(exceed),2);

%theoretical value
%(can you believe matlab doesn't come with normal cdf function!?)
nrmcdf = @(x)((1 + erf(x / sqrt(2)))/2);
p_thry = 1 - nrmcdf(sqrt(k_vals) * log(5/4) / log(2));

loglog(k_vals,prob_g,'b-',k_vals,p_thry,'r-');
legend('empirical probability','theoretical probability');

生成されたグラフ：

あなたは期待について正しいです。

実際の証拠ではありませんが、実際には、元の賭け金よりも多くを取り戻す可能性に対する正しい答えがあります。あなたが持っている生の金額の代わりに、2を底とする対数を考えてください。これは、お金を2倍にした回数から、半分にした回数を差し引いたものになります。これは、確率でそれぞれまたは等しい、独立確率変数の合計です。必要な確率は、これが正の確率です。が奇数の場合、対称性により正確にます。場合（それを呼び出すさえある）それはだ$S_n$$n$$+1$$-1$$1/2$$n$$1/2$$n$$2k$$1/2$ある確率の半分。しかし、であり、としてに近づき。$S_n = 0$$P(S_{2k} = 0) = {2k \choose k}/2^{2k}$$0$$k \to \infty$