分数微分式について

時系列あり、それをARFIMA（別名FARIMA）プロセスとしてモデル化したいと思います。が（分数）の次数で積分されている場合、それを定常的にするために分数で差を付けたいと思います。$y_t$$y_t$$d$

質問：分数微分を定義する次の式は正しいですか？

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

（ここでは、次数分数微分を示します。）$\Delta^d$$d$

このウィキペディアの記事ARFIMAの Chapter ARFIMA（）に基づいて式を作成しましたが、正しく取得したかどうかはわかりません。$0,d,0$

はい、それは正しいようです。フラクショナルフィルターは、二項展開によって定義されます。

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

はラグ演算子であり、このフィルターは場合は簡略化できないことに注意してください。次に、プロセスを検討します。$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

拡大すると、次のようになります。

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

これは次のように書くことができます：

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

詳細については、Stephen J. Taylorによる資産価格のダイナミクス、ボラティリティ、および予測（2007年版の243ページ）または時系列： BrockwellおよびDavisによる理論と方法を参照してください。