Borel-Cantelli Lemmaに関連する質問

注意：

Borel-Cantelli Lemmaは次のように述べています

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

次に、

もし

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

Borel-Cantelli Lemmaを使用して

それを見せたい

まず、

存在 $\lim_{n\to \infty}P(A_n)$

第二に、

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

これら2つの部分を見せてください。ありがとうございました。

— B11b
ソース

いいえ、ボレル・カンテリの補題は、少なくとも、さらなる仮定なしでは、（すべて）それを言っていません。

— 枢機

@cardinal、これらの2つのステートメントをどのように表示できますか？私に説明してもらえますか？私は十分なアイデアを持っていません。解決方法を示してくれたら嬉しいです:)ありがとう

— -B11b

1つの「さらなる仮定」を追加しました。

— 禅

A_{n}

$A_n$

どの主張も真実ではありません。

$A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

$\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— アレックス・R
ソース