を閉じた形でどのように計算できますか？

閉じた形の二乗された通常のCDFの期待値をどのように評価できますか？

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

ここで、、は実数、、とは標準正規確率変数の密度と分布関数です。それぞれ。 $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— アンドレイ
ソース

さて、どこで行き詰まりますか？評価してみましたか？多分という事実を使用してください

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— 火曜日

部品による統合やその他の（単純な）手法を使用して、積分を評価しようとしましたが、それはどこにも導きませんでした。また、私は実際にバリアンスからここに着手しました。同様の質問（stats.stackexchange.com/questions/61080/…）を見つけましたが、2乗CDFに拡張するのは簡単なことではないようです。

— Andrei

極座標の使用を検討しましたか？

— StatsStudent 2015年

いいえ、詳しくはありませんか？

— Andrei

場合と、次いでその二次モーメントは、次に、0と1の間に均一に分布されている。あなたが一般的なと求めるもののようなものを計算しようとしたことを思い出しましたが、閉形式の解は見つかりませんでした。

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst 2015年

上記の私のコメントで述べたように、ガウス関数の積分のリストについてはウィキペディアをチェックしてください。あなたの表記法を使用して、それはここではによって定義されるオーエンのT関数です

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

をプラグインすると、コメントが示すとおり、を取得します。 $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— Soakley
ソース

どうもありがとう、これがまさに私が探していたものです。

— Andrei