が連続変数の場合、

連続変数ことは知っています。 $P[X=x]=0$

しかし、場合、可能なの数が無限にあることを視覚化することはできません。また、なぜそれらの確率が無限に小さくなるのですか？ $P[X=x]=0$ $x$

— 時間
ソース

連続変数

— 西安

この質問を重複として終了する投票はすでに2票あります。同意しません。これは非常に基本的なトピックであり、おそらく今後再び表示されるトピックの1つなので、直接的で質の高い回答があったらいいので、後で参照することができます。@ Xi'anによって提供されたリンクは重複していると脅かされる可能性がありますが、非常に具体的であり、検索で見つけるのも困難です。リンクはまた、完全な答えを提供しませんが、この脅威はそのように収束するようです。今後の参考にしておくべきだと思います。

— Tim

この状況の逆を検討すると役立つ場合があります。ましょ

BE 任意の確率変数をしてみましょう

任意の正の実数とします。唯一の有限数に制限はありません

いる

互いに素なイベントの上にすべてのこれらの確率を加算して- -あなたは合計確率は、少なくともであると結論付けてしまうそうでない場合のためには、

、最終的には

を超えます。（これは実数のアルキメデスの特性です。）この推論は3つの公理のみを使用します

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$ ：ばらばらのイベントの確率が追加され、総確率は

であり、アルキメデスの公理です。

1

$1$

— whuber

@Timありがとうございましたが、それは不完全なので、私は、むしろ答えよりも、コメントとしてこの考えを投稿：私はとしての限界で何が起こるかを説明するための基本的な方法を考え出していない

。無限集合のカーディナリティーについてある程度の知識が必要なようです。

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— whuber

@ Xi'an同意しますが、提案したスレッドは十分に近い複製ではありません。これは探すのが難しいことです。この質問と重複する他のスレッドをご存知ですか？

— whuber

回答:

確率は、観測の相対頻度のモデルです。イベントの場合は発生したことが観察されたに時間を試験、その相対頻度である $A$ $N_A$ $N$ それは一般的に上記比率の数値は、に近い近似であると考えられている「大」である「大」が何を意味するかどこが最良のリーダーの想像力（及び盲信）に委ねられます。

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

ここで、モデルが連続確率変数のモデルである場合、のサンプルは異なる数値であることが確認されています。したがって、特定の数（または、より厳密には、イベント）の相対頻度は、 $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ のいずれかは、場合値持つ、または $\frac 1N$ $x_i$ $x$ 、すべての場合には異なっている。懐疑的な読者が追加のサンプルを収集する場合、イベントの相対頻度は $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ または値を楽しみ続ける $\frac{1}{2N}$ 。したがって、は値割り当てる必要があると推測する傾向がありますこれは、これが観測された相対頻度の良い近似であるためです。 $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

注：上記の説明は、（通常）確率や統計の適用に関心のあるエンジニアや他の人（つまり、理論が現実の良いモデルになるように確率の公理が選択されたと信じている人）には満足ですが、まったく不十分です。他の多くの人に。純粋に数学的または統計的観点から質問を近づけるとすることも可能であることを証明することをなければならない値持ったびに $P\{X = x\}$ $0$ $X$ 確率の公理からの論理的演繹による連続確率変数であり、相対頻度や物理的観測などへの参照はありません。

— ディリップ・サルワテ
ソース

+1「注：上記の説明は...満足です...確率の公理が理論を現実の良いモデルにするために選択されたと信じる人々ですが、完全に不十分です...」インターネットの好ましい言い回し、笑。

— ガン-モニカの回復

$X$

N

$N$ $X$

X

$X$

@StéphaneLaurentディリップの発言はそれとは異なる精神で行われていると思います。この答えは、数学的に厳密なデモンストレーションを提供するための努力ではなく、OPを困惑させる事実に直観と動機付けを提供するためのものです。伝統的に初心者に教えられていた離散確率理論と測度理論に基づくより豊かな確率理論との間のギャップを埋める可能性があるので、私はこのアプローチに興味をそそられます。

— whuber

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

$(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— 禅
ソース

連続確率変数（それが何の密度を持っていませんでした。）絶対連続である必要はありません

— Zhanxiong

バロニー。「連続確率変数」は、「ルベーグ測度に関して完全に連続である確率変数」の略称です。したがって、ラドンニコディムは密度の存在を保証します。特異な分布を持つ確率変数（Cantorなど）は別のものです。あなたはあなたの偽のコメントで潜在的な学生を誤解させています。

— Zen

X

$X$

ウィキペディアはあなたに反対です、@ Solitary：「連続確率分布は確率密度関数を持つ確率分布です。数学者もそのような分布を絶対連続と呼びます[...]」。

— アメーバは、モニカを元に戻す

$X$ $F$ $P(X = x) = 0$

$F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— ザンシオン
ソース

X

$X$

X

$X$

私の友人、これは実際には私の答えではなく、あなた自身の答えの反例になることがあります。このような特異な連続 rv が存在するため、分布関数はすべて連続ですが、絶対連続 rvと特異連続 rv を区別する必要があります。連続 rvと絶対連続 rv を等しくすることはあいまいです。

— Zhanxiong 2015

そうではありませんが、聞こえません、私の友人。

— Zen

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$