カイ2乗変量の無限コレクションの統計（たとえば、最小）を注文しますか？

今回が初めてなので、フォーマットやタグなど、何らかの形で質問を明確にできるかどうか教えてください。（うまくいけば、後で編集できます！）参照を見つけて、誘導を使用して自分自身を解決しようとしましたが、両方で失敗しました。

私は、自由度の異なる独立した確率変数の無数に無限の集合の次数統計に減少するように見える分布を単純化しようとしています。具体的には、独立した中で番目に小さい値の分布は何ですか？ $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

特別なケース興味があります：（独立した）の最小値の分布はどうですか？ $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

最小値の場合、累積分布関数（CDF）を無限積として書くことができましたが、それをさらに単純化することはできません。のCDF が（場合、これにより、期待値2の指数分布との等価性に関する以下の2番目のコメントが確認されます。）最小値のCDFは、として記述できます。製品の最初の項はであり、「最後の」項は $\chi^2_{2m}$

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$

m = 1

$m=1$

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ です。しかし、そこから単純化する方法（可能な場合）がわかりません。あるいは、まったく異なるアプローチの方が良いかもしれません。

もう1つの潜在的に役立つ注意：は期待値2の指数分布と同じであり、はそのような2つの指数の合計などです。 $\chi^2_2$ $\chi^2_4$

誰かが興味を持っている場合は、定数の回帰（すべてのに対して）の場合について、このペーパーの定理1を簡略化しようとしています。（を掛けたので、分布の代わりにます。） $x_i=1$ $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— デビッドMカプラン
ソース

これは、あなたの質問に答えますか？

— mpiktas 2011

@mpiktas：提案をありがとう。それは似ていますが、レートパラメーターが異なる指数の代わりに、自由度が異なるカイ2乗があります（有限ではなく、無限の数です）。また、は指数関数ですが、は指数関数ではありません。それらは指数の合計ですが、指数の合計自体は指数ではありません。（そして、理想的には、私は一般的な注文統計を期待していますが、最小値は素晴らしいスタートです。）

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— デビッドMカプラン

これには閉じたフォームがあるとは思えません。ただし、奇妙な特徴がありますが Poisson（）変量である場合、であり、はすべての。

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

— whuber

@whuber：ポアソンプロセスの観点から考えると、それほど興味深いことではないかもしれません。LET BE IID対応ポアソン過程とランダム変数、レート。ましょう、、、等そして、独立したポアソン過程の定常独立インクリメントプロパティであり、我々そのます。

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— 枢機卿

@Cardinalもちろん：それはそれを見る良い方法です。好奇心はポワソンとガンマの関係ではありません。イベント自体の説明にあります！

— whuber

回答:

無限積のゼロは、項のゼロの和集合になります。20項まで計算すると、一般的なパターンがわかります。

複素数ゼロのプロット

この複素平面のゼロのプロットは、さまざまな記号によって積の個々の項の寄与を区別します。各ステップで、見かけの曲線がさらに拡張され、新しい曲線がさらに左に開始されます。

この図の複雑さは、Whittakerのような古典的なテキストで調査されるように、高次分析のよく知られた関数（ガンマ、シータ、超幾何関数など）と基本関数の観点から閉じた形式のソリューションが存在しないことを示しています＆ワトソン）。

したがって、問題はもう少し実り多い形でもたらされる可能性があります。注文統計の分布について何を知る必要がありますか？それらの特徴的な機能の推定値？低次モーメント？分位数への近似？他に何か？

— whuber
ソース

製品のゼロが重要なのはなぜですか？些細なことを見逃しているように感じます。

— mpiktas 2011

@mp零点と極は、関数の複雑さについて何かを示しています。有理関数にはそれらの有限数があります。初等関数は通常、に対して、積分などのゼロの行を持ちます。典型的な「超越」関数は、すべての非正の整数（ガンマ関数の逆数）や点の格子（シータ関数と楕円関数）など、やや複雑なゼロのパターンを持っています。ここに示されている複雑なパターンは、CDFをこれらの使い慣れた関数の観点から表現することが困難または不可能であることを示唆しています。

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@whuber（1/2）、ありがとう！複素平面にゼロのそれらの異なるパターンを持つ関数の異なるクラスについては知りませんでした。それは非常に便利に聞こえ、あなたのグラフは私の質問に答えているようです（提起されたとおり）。

— デビッドMカプラン

@whuber（2/2）、これは別の論文で与えられた推定量の（複雑な）分布の特別なケースをチェックしていました。彼らは、ブートストラップの使用を正当化するためにディストリビューションの存在を使用しました。私の顧問は、分布を概算しようと提案しました。この特別なケース（私はそれが何であるかを知っている）では、彼らの配布がオフになっているようですので、助成金の締め切り後にアドバイザーと一緒にチェックします。しかし、潜在的に、より複雑な設定で番目の次数統計（除算）の高次展開をとして取得しようとしています。その場合は再度投稿します。再度、感謝します！

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— デビッドMカプラン

（独立した）の最小値の分布は何ですか？ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

約6年遅れで到着したことをお詫びします。OPはおそらく他の問題に移行しているようですが、問題はまだ新鮮で、別のアプローチを提案するかもしれません。

where where with pdf'sが与えられ： $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

以下は、対応するpdfののプロットです。サンプルサイズが増加するにつれて、： $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

の分布に興味があり。 $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

追加の用語を追加するたびに、追加された最後の最後の用語のpdfはさらに右にシフトします。そのため、用語を追加する効果は、ますます関連性が低くなるだけでなく、ほんの数用語後になります。、サンプルの最小値では、ほとんど無視できます。これは、実際には、非常に少数の用語のみが実際に問題になる可能性が高いことを意味します。用語の追加（または無数の用語の存在）は、サンプルの最小問題にはほとんど関係ありません。

テスト

これをテストするために、のpdf を1項、2項、3項、4項、5用語、6用語、7用語、8用語に計算しました。 9項、および10項。これを行うために、私はmathStaticaの関数を使用して、ここでサイズのサンプルの最小値（オーダー統計）のpdfを計算するように指示し、パラメーター（代わりに修正される）は： $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$