連続変数の条件付き確率

その確率変数を仮定 $U$ パラメータ0と10と連続し均一な分布に従う（すなわち、 $U \sim \rm{U}(0,10)$ ）

ここで、Aを $U$ = 5のイベント、Bを $U$ が $5$ または6のいずれかであるイベントとすることにします。私の理解によると、両方のイベントの発生確率はゼロです。

我々は計算に考慮すれば、今、 $P(A|B)$ 、我々は条件付きの法則を使用することはできません $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ は、 $P(B)$ がゼロに等しいためです。しかし、私の直感ではと言われます $P(A|B) = 1/2$ 。

conditional-probability continuous-data uniform

— 新入り
ソース

あればどのようなあなたの直感はあなたを言うだろう

U

$U$ 持っていた不均一な密度

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$ ？

— ディリップサーワテ

@DilipSarwate私の直感では、答えは0.5よりわずかに低い数であると教えてくれます

— Noob

回答:

「確率が0に等しい孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は受け入れられません。」A.コルモゴロフ

連続確率変数の場合、及びたとえば、条件付き分布は、全ての測定セットに、すなわち、それらは元の確率測度を回復することプロパティによって定義される、、 $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ これは、条件ゼロが測定値0のセットで任意に定義されていること、つまり条件密度はほぼどこでも定義されます。セットので、ルベーグ測度対策ゼロの両方の定義ができることを、この手段である及びしたがって、絶対任意の方法および確率という点で

P （ バツ \in A 、 Y \in B ） = \int_{B} d P_{Y} （ y ） \int_{B} d P_{バツ | Y} （ バツ | y ）

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$

p (6)

$p(6)$

任意の値をとることができます。

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

これは、2変量の通常の場合のように、比率式条件付き密度を定義できないことを意味するものではなく、単に両方の密度がほぼどこでも定義されるおよび。

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

「有能な確率論者の間で-これらの結果のどれが「正しい」かについて、多くのかなり無駄な議論が激化しています。」ETジェインズ

上記の答えの制限引数（がゼロになるとき）が自然で直感的な答えを与えるようであるという事実は、ボレルのパラドックスに関連しています。学部のクラスで使用する次の例に示すように、制限のパラメーター化の選択は重要です。 $\epsilon$

変量正規取るの条件付き密度は何、与えられた？

バツ 、 Y \overset{イイド}{〜} N （ 0 、 1 ）

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

ジョイント密度から開始する場合、「直感的な」答えは[比例] です。これは、変数の変化考慮することによって得ることができる有する密度 $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

（ バツ 、 t ） = （ バツ 、 y - バツ ） 〜 φ （ バツ ） φ （ t + バツ ）

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

。したがって、

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

および

f （ バツ | t ） = \frac{φ （ バツ ） φ （ t + バツ ）}{φ （ t / \sqrt{2} ） / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

しかしながら、代わりの変数の変化を考慮した場合

の周辺密度はコーシー密度

および

条件付き密度

f (x | t = 0 ） = \frac{φ （ バツ ） φ （ バツ ）}{φ （ 0 / \sqrt{2} ） / \sqrt{2}} = φ （ バツ ）^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$

X

$X$ 所与の

である

したがって、

R

$R$

f （ バツ | r ） = φ （ バツ ） φ （ r バツ ） | バツ | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

そして、ここで「パラドックス」はある：イベント

および

同じです

、彼らは上の異なる条件付き密度につながる

。

f （ バツ | r = 1 ） = π φ （ バツ ）^{2} | バツ | / 2 。

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— 西安
ソース

これは明らかに間違っています。確率論の厳密なコースをとると、メジャー0のイベントの条件付けが可能かつ実用的であることがわかります。二変量ガウスを考えます。このイベントの確率はゼロですが、最初の変数が値ゼロになることを条件にできることは誰もが知っています。ウィキペディアを参照してください。en.wikipedia.org/wiki/...

— Yairダオン

これは議論の余地のある答えです：

西安は、確率がゼロのイベントを条件付けできないことは正しい。ただし、Yairは、制限プロセスを決定したら、確率を評価できることも正しいです。問題は、希望する条件に到達するための多くの制限プロセスがあることです。

無関心の原則は、そのような選択を時々解決できると思います。それは、結果がラベルの任意の交換によって影響されるべきではないと主張します。あなたの場合、例えば、間隔を反転させて、それが均一になるようにします $(1, 11)$ そして、ポイント5と6が切り替えられました。反転すると答えが変わる $p$ に $1-p$ 。したがって、一方に対して別の制限プロセスを選択した場合、ラベルの任意の変更（この場合、正の無限大から負の無限大への変更）によって異なる結果が得られます。それは無関心の原則に従って起こるべきではありません。したがって、あなたが推測したとおり、答えは0.5です。

多くの統計学者は無関心の原則を受け入れないことに注意してください。私の直感を反映しているので気に入っています。どのように適用するのかが常にわからないが、おそらく50年後にはもっと主流になるだろうか？

— ニール・G
ソース

思慮深い投稿をありがとう。私は、1つには、「無関心の原理」が実行可能でないため、これが主流になることを真剣に疑っています。基礎となる値が再表現されると、引数はバラバラになります。上の均一分布

[0, 10]

$[0,10]$ これにより、たとえばコーシー分布になる可能性があります。

5

$5$ になる可能性があります

0

$0$ 、そして

6

$6$ なる

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$ 。あなたの「無関心の原理」は今や全く異なる答えを生み出します。（この例を解決するために確率変換を使用しました。）

— whuber

@whuber：モードを反転しない限り、反転引数はCauchyディストリビューションでは機能しません。

— ニールG

確かに、2つの値を交換する連続分布を別の分布に変換する方法はたくさんあります。実際、あなたの「反転」は元の分布さえ保存しませんでした。（サポートを完全に変更しました。）あなたがしているのは、あるディストリビューションを別のディストリビューションに置き換えることだけです。ここで動作する原則はまったくないようです。

— whuber

@whuber：分布を別の分布に置き換え、5と6の周辺の均一な領域を変更しませんでした。同じように、ズームアウトすると、Bertrandパラドックスの元の円の密度は変更されません。

— ニールG

@whuber：そのとおりです。ポテトの質問に対する答えがとても気に入りました。私は個人的に、理論と直観の間に矛盾がある場合、新しい、より完全な理論を探すべきだと思います。「無関心の原則」はまったく正しくないか、一般的には機能しないかもしれませんが、私は、確率論が直感的な理解を持っている質問に答えることを自然に望んでいます。たぶん、ルベーグは積分を作成したときにリーマン統合について同じような不安を抱いていたのでしょうか？

— ニールG

はい、できます！あなたはできるゼロ確率の事象に関する条件！数学は複雑になります-何らかの測定理論が必要ですが、それは可能です。このような単純なケースでは、以下を定義することにより直観を求めます。 $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ そして $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ 。前と同じように今すべてをして、取ります $\epsilon \to 0$ 。

上記の方法が直観に使用されることを繰り返し強調します。確率ゼロのイベントの条件付けは、よく考えなくても非常に頻繁に行われます。私が考えることができる最高の例は、 $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ は二変量ガウスです。人はしばしば密度を考慮します $X_1$ 与えられた（言う） $X_2 = 0$ 、測定ゼロのイベントです。これは理論に基づいていますが、些細なことではありません。@ Xi'anのコルモゴロフの引用について-Varadhanのみ引用できます。「私たちの目標の1つは、次の場合に意味のある定義を求めることです。 $P(\xi = a) = 0$ 「（確率論、クーラントの講義ノート、74ページ）。

したがって、はい、メジャー0のイベントの条件付けに意味を与えることができます。

— ヤイル・ダオン
ソース

仮に

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$ ：つまり、両方

0

$0$ そして

10

$10$ 可能です。状況にどのように対処しますか

A = {0}

$A=\{0\}$ そして

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$ ？でしょうか

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$ （これは「直感的に」正しい答えです。なぜなら、

[0, 10]

$[0,10]$ 同じ密度を持っている）または多分

1 / 3

$1/3$ （これは単純な変更です

5

$5$ に

0

$0$ あなたの式で与えるでしょう）またはさえ

0

$0$ ？

— whuber

@YairDaonお返事ありがとうございます！私がよく理解していれば、あなたは次のことをするつもりです：

ε

$\varepsilon$ 、我々は持っています：

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

— Noobの

@YairDaonしかし、もともとAを次のように定義していた場合、結果は不変ではないと思います

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$ （およびBは以前と同じです）。そのような場合、結果は次のようになります

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

— -Noob

@ Xi'anが引用したコルモゴロフの声明の根拠は、ユニークな答えがないことを示すことで、直観に優れています。あなたは、あなたが彼らがこのアプローチの問題についてあなたに警告するべきであると思ったので、物事を出すためにあなたの手順を変えなければならなかったという事実。

— whuber

の密度

X_{2}

$X_2$ 与えられた

X_{1}

$X_1$ の密度に反して、明確に定義されている

X_{2}

$X_2$ 与えられた

X_{1} = 0

$X_1=0$ 。

— 西安