Mathematicaの乱数ジェネレータは二項確率から逸脱していますか？

それで、コインを10回めくって、それを1つの「イベント」と呼ぶとしましょう。実行すると、これらの「イベント」の1,000,000で、頭が0.4〜0.6のイベントの割合はどれくらいですか？二項確率はこれが約0.65であることを示唆しますが、私のMathematicaコードは約0.24を教えてくれます

これが私の構文です：

In[2]:= X:= RandomInteger[];
In[3]:= experiment[n_]:= Apply[Plus, Table[X, {n}]]/n;
In[4]:= trialheadcount[n_]:= .4 < Apply[Plus, Table[X, {n}]]/n < .6
In[5]:= sample=Table[trialheadcount[10], {1000000}]
In[6]:= Count[sample2,True];
Out[6]:= 245682

事故はどこにありますか？

事故は、厳密な「より小さい」の使用です。

${{_{10}}\choose{^5}}(\frac{_1}{^2})^{10}\approx 0.246$

制限に0.4と0.6を含めると（つまり、10トスで4、5、または6頭）、結果は約0.656の確率になります。

あなたの最初の考えは乱数発生器の問題ではないはずです。この種の問題は、これまでずっとMathematicaのように頻繁に使用されるパッケージで明らかでした。

あなたが書いたコードに関するコメント：

• 定義したexperiment[n_]が使用したことがなく、代わりにその定義をで繰り返したtrialheadcount[n_]。
• experiment[n_]はるかに効率的に（組み込みコマンドを使用せずにプログラムすることができるBinomialDistribution）などTotal[RandomInteger[{0,1},n]/n、これもなるだろうX不要。
• experiment[n_]が厳密に0.4と0.6の間であるケースの数を数えることは、書くことによってより効率的に達成されますLength[Select[Table[experiment[10],{10^6}], 0.4 < # < 0.6 &]]。

$x$$\hat p = x/10$$x = 5$PR[4≤X≤6〕=6 Σ X=4（

$$\Pr[X = 5] = \binom{10}{5} (0.5)^5 (1-0.5)^5 \approx 0.246094.$$ $$\Pr[4 \le X \le 6] = \sum_{x=4}^6 \binom{10}{x} (0.5)^x (1-0.5)^{10-x} = \frac{672}{1024} \approx 0.65625.$$ 0.4 <= # <= 0.6代わりに。もちろん、次のように書くこともできます

Length[Select[RandomVariate[BinomialDistribution[10,1/2],{10^6}], 4 <= # <= 6 &]]

このコマンドは、元のコードより約9.6倍高速です。私がMathematicaにいるよりもさらに熟練した誰かがそれをさらにスピードアップできると想像します。

Mathematicaで確率実験を行う

Mathematicaは確率と分布を操作するための非常に快適なフレームワークを提供します-適切な制限の主な問題は対処されていますが、この質問を使用してこれをより明確にし、参考として役立つと思います。

実験を繰り返し可能にして、好みに合わせていくつかのプロットオプションを定義しましょう。

SeedRandom["Repeatable_151115"];
$PlotTheme = "Detailed";
SetOptions[Plot, Filling -> Axis];
SetOptions[DiscretePlot, ExtentSize -> Scaled[0.5], PlotMarkers -> "Point"];

パラメトリック分布の操作

これで、1つのイベントの漸近分布を定義できます。これは、（フェア）コインの回のスローにおけるヘッドの比率です。$\pi$$n$

distProportionTenCoinThrows = With[
    {
        n = 10, (* number of coin throws *)
        p = 1/2 (* fair coin probability of head*)
    },
    (* derive the distribution for the proportion of heads *)
    TransformedDistribution[
        x/n,
        x \[Distributed] BinomialDistribution[ n, p ]
    ];

With[
    {
        pr = PlotRange -> {{0, 1}, {0, 0.25}}
    },
    theoreticalPlot = DiscretePlot[
        Evaluate @ PDF[ distProportionTenCoinThrows, p ],
        {p, 0, 1, 0.1},
        pr
    ];
    (* show plot with colored range *)
    Show @ {
        theoreticalPlot,
        DiscretePlot[
            Evaluate @ PDF[ distProportionTenCoinThrows, p ],
            {p, 0.4, 0.6, 0.1},
            pr,
            FillingStyle -> Red,
            PlotLegends -> None
        ]
    }
]

これにより、比率の離散分布のプロットが得られます。

分布をすぐに使用して、と確率を計算できます：Pr$Pr[\,0.4 \leq \pi \leq 0.6\, |\,\pi \sim B(10,\frac{1}{2})]$$Pr[\,0.4 < \pi < 0.6\, |\,\pi \sim B(10,\frac{1}{2})]$

{
    Probability[ 0.4 <= p <= 0.6, p \[Distributed] distProportionTenCoinThrows ],
    Probability[ 0.4 < p < 0.6, p \[Distributed] distProportionTenCoinThrows ]
} // N

{0.65625、0.246094}

モンテカルロ実験を行う

1つのイベントの分布を使用して、そこから繰り返しサンプリングすることができます（モンテカルロ）。

distProportionsOneMillionCoinThrows = With[
    {
        sampleSize = 1000000
    },
    EmpiricalDistribution[
        RandomVariate[
            distProportionTenCoinThrows,
            sampleSize
        ]
    ]
];

empiricalPlot = 
    DiscretePlot[
        Evaluate@PDF[ distProportionsOneMillionCoinThrows, p ],
        {p, 0, 1, 0.1}, 
        PlotRange -> {{0, 1}, {0, 0.25}} , 
        ExtentSize -> None, 
        PlotLegends -> None, 
        PlotStyle -> Red
    ]
]

これを理論的/漸近的分布と比較すると、すべてがほぼ以下に当てはまることがわかります。

Show @ {
   theoreticalPlot,
   empiricalPlot
}