を見つける方法

どうすれば解決できますか？中間方程式が必要です。たぶん答えは $-tf(x)$ です。

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ は確率密度関数です。

すなわち、ある $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ と $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

ソース： http: //www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

以下の中間方程式を試してください：

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— 町田裕明
ソース

意味

？おそらく

それとも

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

？

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— ヘンリー

微積分の基本定理を使用してください

— ヘンリー

プリミティブ検討

の

、次いで

容易誘導体です。

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— ステファンローラン

self-studyタグを追加して、そのタグwikiを読んでください。

— Glen_b -Reinstateモニカ

試験のために勉強している場合、完全なソリューションを提供することはやるべきことではありません。自習用の質問は、質問をしている人が問題を自分で解決できるようにすることを目的としています。

— 西安

回答:

定義により、導関数（存在する場合）は、差分商の限界です。

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

として。 $h\to 0$

が区間内で連続していて、十分に小さいと仮定すると、もこの区間全体で連続します。次に、平均値定理は、と間にが存在すると断定します $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$ します。

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

、必ずしも、との連続近く、その後は、左手側は限界を有している意味と同じ。 $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

（この分析は、元の存在についての推論必要としないことを確認するためにいいです不適切な整数。） $\int_t^\infty x f(x) dx$

ただし、分布に密度がある場合でも、 $f$ その密度は連続している必要はありません。 不連続点では、差分商の左右の限界が異なります。微分はそこに存在しません。

これは、開業医が無視できる不可解な数学的「病理学」であるとして却下できる問題ではありません。多くの一般的で有用な分布のPDFには不連続点があります。たとえば、Uniform 分布にはとで不連続なPDF あります。ガンマの分布は、不連続PDF有する場合（ユビキタス指数分布とのいくつか含まれて分布）。等々。したがって、 $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ 答えは単にであることを、慎重な資格なしに、それがアサートに重要ではありませんが：それは間違いです。 $-t f(t)$

— ウーバー
ソース

非常に小さな補遺：

が連続的でなくても積分が微分可能である場合があります。ましょう

ため

と

のために

および

のため

。次いで0近く、

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$ のために

および0

で完全に微分可能であり、

。

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— アレックスR.

@Alex近く

、

ではなく、

。微積分の基本定理を考慮してください。

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

Sorry for the confusion! I define

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$ .

— Alex R.

@Alex Your integrand

t f (t)

$tf(t)$ is continuous near zero, so I fail to see what kind of example you are presenting or what it shows.

— whuber

Great derivation (+1) - it might be worth nothing that this result is a case of Leibniz integral rule.

— Reinstate Monica

Solved...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Thank you all!!!

— Hiroaki Machida
ソース

What is

G (t)

$G(t)$ function? Why the derivative of

G (\infty)

$G(\infty)$ is 0?

— Vladislavs Dovgalecs