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確率的プロセスとは、時間の経過とともに進化するプロセスであるため、実際には「時系列」と言うより手の込んだ方法でしょうか。

time-series stochastic-processes definition

— ビクター
ソース

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時系列は、離散時間観測をサポートする確率的プロセスです。確率過程は連続時間で観察できます。（また、系列は観測と確率的プロセスに関連している可能性があります。ランダムオブジェクトは背後にあります。）

— 西安14

「シリーズ」は、「プロセス」の潜在的に連続的な性質とは対照的に、離散的または有限の性質を意味します。

— アクサカル14

7

確率的プロセスは時間とともに進化する必要はありません。静止している可能性があります。私の考えでは、確率過程と時系列の違いは視点の一つです。確率的プロセスはランダム変数のコレクションであり、時系列は数値のコレクション、または確率的プロセスの実現またはサンプルパスです。プロセスに関する追加の仮定をもとに、我々は、使用したいかもしれない値のヒストグラムなどのプロセスを構成するすべての確率変数の一般的な密度の推定値（または質量関数）として数値の時系列のを

— ディリップSarwate

2

@DilipSarwate、時系列は静止していてもいなくてもかまいません。

— アクサカル14

2

@Aksakal私は違うことを請う。統計学者が有限長の時系列を観測したと仮定します。これは定常系列ですか？それがそうである（またはそうでない）ことをどのように見分けることができますか？確率的プロセスについて推測できる複数の時系列（同じ瞬間）が利用可能でない限り（「Gee、がとる値のヒストグラムは、の選択に関係なくほぼ同じです」）。しかし、数字の単一のシーケンス？あなたはシリーズが静止しているかどうかを言うことはできませんが、可能性を前提と根本的な再ので、確率過程のモデル

1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1

$1,0,-1,0,1,0,-1$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— ディリップSarwate

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多くの厄介な矛盾がコメントと回答に現れているので、いくつかの当局に言及しましょう。

ジェームズ・ハミルトンは時系列さえ定義していませんが、彼が何であるかについては明確です：

...この番号のセットは、データを生成した基礎的な確率的プロセスの1つの可能な結果にすぎません。確かに、プロセスを無限の期間にわたって観察し、シーケンス到達すると想像したとしても無限シーケンスはまだ時系列プロセスからの単一の実現として表示されます。... $T$
${y_{t}}_{t = \infty}^{\infty} = {\dots, y_{- 1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{T}, y_{T + 1}, y_{T + 2}, \dots,},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$
一連の ...コンピューターがシーケンス生成する想像してください、それぞれから日付関連付けられた観測値の選択を検討するシーケンス：これは、ランダム変数実現のサンプルとして説明されます。... $I$ $\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$ $t$
${y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(2)}, \dots, y_{t}^{(I)}} .$ $\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$ $I$ $Y_t$

（時系列分析、第3章。）

したがって、「時系列プロセス」は、整数インデックス付けされたランダム変数セットです。 $\{Y_t\}$ $t$

確率微分方程式、 BerntØksendalは、一般的な確率論的プロセスの標準的な数学的定義を提供します：

定義2.1.4。 確率過程は、パラメータ化確率変数の集合である確率空間上で定義されたとの値を仮定。
${X_{t}}_{t \in T}$ $\{X_t\}_{t\in T}$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$
パラメーター空間は通常（本書のように）ハーフラインですが、区間、非負整数、さらにはサブセットである場合もありますは。 $T$ $[0,\infty)$ $[a,b]$ $\mathbb{R}^n$ $n\ge 1$

2つをまとめると、時系列プロセスは整数でインデックス付けされた確率的プロセスであることがわかります。

一部の人々は「時系列」を使用して、時系列プロセスの実現を参照します（Wikipediaの記事など）。ハミルトンの言語では、「時系列プロセス」を使用してプロセスを実現と区別する合理的な努力を見ることができ、「時系列」を使用して実現（またはデータ）を参照できます。

— ウーバー
ソース

2

（+1）最後の段落は特に重要だと思います（微妙ですが）。ただし、「連続的な時系列」という概念が時々見られることを付け加えたいと思いました。時折、フレーズは変数自体が離散的ではなく連続的であることを示すためだけに使用されますが、時間が連続的にサンプリングされていることを示すために使用されることもあります。たとえば、ブロックシリーズとデイビスによる時系列：理論と方法内のこちらを参照してください。

— シルバーフィッシュ

1

@Silverfishこれらのコメントに感謝します。しかし、究極的には、数学では「シリーズ」が可算領域を持つ関数を指すために普遍的に使用されているという単純な理由により、説得力がありません。「継続的にサンプリング」をその概念に含めることはできません。一部の著者は連続時間確率過程を「シリーズ」と呼んでいるかもしれないというあなたの観察に異議を唱えません。これが事実なら、彼らは確立された用語を乱用していると言っているだけです。

— whuber

3

これには、「処方と処方」の議論がある程度あると思います。「連続的な時系列」の考え方は間違いなく少数の使用法です（これはフィールドに依存するのだろうか、私の限られた理解は、信号処理の人々が通常「シリーズ」ではなく「連続的な時間信号」を参照するということです）「シリーズ」という言葉が論理的に離散サンプリングと一貫していることに同意する傾向があります。少数の使用法は、専門家の間でさえ、前例のないものではないことを指摘したかっただけです。

— シルバーフィッシュ

@Silverfish、したがって、連続時系列も考慮するこの少数派にとって、確率過程は時系列に等しいでしょうか？

— コードポープ

3

確率的プロセスは、ランダム変数（必ずしも独立ではない）のセットまたはコレクションです。インデックスtは特定のセットの値を取り、このセットは順序付けられ、瞬間に対応します。ランダムウォークの例。時系列は、確率過程の実現です。 $\left\{X_t\right\}$

— ムワンドリ
ソース

1

確率的プロセスの定義

ましょう確率空間です。LET（例えば、実数の空間などの別の測定空間とすることが）。やや不正確に話す： $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $S$ $\mathbb{R}$

ランダム変数は、からまでの測定可能な関数です。 $\Omega$ $S$
確率的プロセスは、時間インデックス付けされたランダム変数のファミリーです。
- 任意の時間に対して、は確率変数です $t \in \mathcal{T}$ $X_t$
- 結果が場合、は確率過程の実現であり、時間の経過とともにが取る可能性のある経路です。 $\omega \in \Omega$ $X(\omega)$ $X$

時系列の定義

確率的プロセスには、非常に明確な数学的定義があります。時系列はそれほど正確ではない概念であり、人々は時系列を使用して、2つの関連するが異なるオブジェクトを参照します。

WHuberが説明しているように、整数にインデックス付けされた確率的プロセス、またはある意味で整数にマップされた（たとえば、月ごとのデータ）一定の増分単位。
定期的に観測されるデータのコレクション。これは、整数でインデックス付けされる確率的プロセスの実現です。これは時系列データと呼ばれることもあります。

例：タックの2回のフリップ

ましょう。レッツそれぞれフリップ1及び2の結果です。 $\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$ $X_1, X_2$

X_{1} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{H T}} \\ 0 : & ω \in {ω_{T H}, ω_{T T}} \end{array}

$X_1(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{TH}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

X_{2} (ω) = {\begin{array}{rr} 1 : & ω \in {ω_{H H}, ω_{T H}} \\ 0 : & ω \in {ω_{H T}, ω_{T T}} \end{array}

$X_2(\omega) = \left\{ \begin{array}{rr} 1: & \omega \in \{ \omega_{HH}, \omega_{TH}\} \\ 0: & \omega \in \{\omega_{HT}, \omega_{TT} \}\end{array} \right.$

したがっては確率的なプロセスです。インデックスは整数によるため、人々は時系列と呼ぶこともあります。また、人々はの実現を呼び出すかもしれません。、時系列または時系列データ。 $\{X_1, X_2\}$ $X$ $X(\omega_{HH}) = (H, H)$

— マシュー・ガン
ソース

0

確率過程と時系列の違いは、キーボードの猫とStack Exchangeの答えの違いに似ています。キーボードの猫は答えを出すことができますが、キーボードの猫は答えではありません。さらに、すべての答えがキーボード上の猫によって生成されるわけではありません。

時系列は、時間値とデータポイントのペアのコレクションとして理解できます。一方、確率的プロセスは、時系列の分布の数学的モデルまたは数学的記述です¹。一部の時系列は、確率的プロセス（いずれかの種類）の実現です。または、別の観点から：時系列を生成するモデルとして確率的プロセスを使用できます。

さらに、時系列は他の方法でも生成できます。

それらは観測の結果である可能性があり、したがって現実によって生成されます。現実を確率過程としてモデル化することもできますが（現実を確率過程と見なすこともできます）、箱の内部が点の集合ではないのと同じように、現実は確率過程ではありません（ただし、モデリングコンテキストの2つの同等物を考慮してください）。
それらは、決定論的なプロセスによって生成できます。今、厳密に言えば、後者が前者の特殊なケースであるように確率的プロセスと決定論的プロセスを定義することができます（そしておそらくそうすべきです）が、これを利用して、決定論的プロセスを確率的プロセスの特別なケースとして話すことはほとんどありません混乱を引き起こす可能性があります非線形方程式のシステムと呼ぶのと比較できます。 $x=2$

^{¹それが離散時間確率過程である場合。連続時間確率的プロセスは、時系列ではなく関数の分布です。}

— かずき
ソース

1

モデルとデータセットを区別しているかどうか、または他のポイントを作成しようとしているかどうかは不明です。また、確率論的なプロセスをどのようにとるかも不明です。（あなたが言ったことは、それは「離散時間の確率過程」ではないということです。）あなたの博覧会におけるこれらの不確実性は、それを解決するのではなく混乱に追加するかもしれません。

— whuber

@whuber：いくつかの側面を明確にするために回答を編集しましたが、あなたは「不均等」な文も誤解していると思います。

— Wrzlprmft 14

0

時系列と確率過程のテーマに関するすべての議論/コメントに感謝します。ここに違いの私の理解があります：時系列は観測された現象であり、観測時の時間でインデックス付けされた一連の数字として記録されます。ニューヨーク証券取引所の株価などの現実の現象の一連の観察結果である可能性が高いです。一方、確率過程は、時系列の数学的表現（生産ではなく）として常に理解されています。

— メイガス
ソース

確率過程は時系列よりも一般的です。たとえば、マルコフ連鎖は時系列ではない確率過程です。

— マイケルR.チャーニック

1

@Michael Chernick：マルコフ連鎖は「整数tでインデックス付けされたランダム変数のセット」と「整数でインデックス付けされた確率的プロセス」の定義と一致していませんか？これらの定義のどの部分をマルコフ連鎖が満たさないか、これらの定義に同意しませんか？

— ColorStatistics

時系列は確率過程と同じですか？

確率的プロセスの定義

時系列の定義

例：タックの2回のフリップ