独立分布のどの比率が正規分布を与えますか？

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2つの独立した正規分布の比率により、コーシー分布が得られます。t分布は、独立したカイ2乗分布で除算された正規分布です。2つの独立したカイ2乗分布の比率により、F分布が得られます。

平均および分散正規分布確率変数を与える独立した連続分布の比率を探していますか？ $\mu$ $\sigma^2$

考えられる答えはおそらく無限にあります。これらの可能な答えをいくつか教えてもらえますか？比率が計算される2つの独立した分布が同じであるか、少なくとも類似の分散を持っている場合、特に感謝します。

— Remi.b
ソース

2

一方で比disributions上のWikipediaの記事は、あなたが求めている例の例を提供していない、それが面白いの読み取りです。

— アヴラハム14年

2

かなり特殊なケースは、が標準法線であり、それぞれ独立して確率である場合、、、およびは同じ平均と分散を持ち、は正規分布。

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— ヘンリー14年

1

「2つの独立したカイ2乗分布の比率はF分布を与えます」---まあ、完全ではありません。ベータプライム分布を提供します。Fを取得するには、dfで各カイ2乗をスケーリングする必要があります。

— グレン_b-モニカーを復活14

2

多くのことから、私はあなたの条件をすべて満たすことは必ずしも可能であるとは全く確信していません。

— -Glen_b-モニカを復元します14

1

（サークル法を使用する）例として正規変数の生成方法（Box-Mullerなど）を採用すると、正規分布を与える均一分布の比率はありません（均一分布が求められる場合）

— Nikos M.

5

ましょう指数分布を有し、平均及び $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ に等しい確率を有します。してみましょう場所。仮定次いで、互いに独立しているから独立しているおよび。したがって、我々は持っています $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

から独立して。 $Y_1$ $Y_2$
両方とも連続; そのような
。 $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

私が取得する方法を考え出したていない。これは、問題が発見に減らすので、これを行う方法を確認するために困難であるとように独立している $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ かなり硬い行うよりも独立のためのおよび。

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— 男
ソース

1

これが本当なら、これは素晴らしいです。

— ニールG

2

@NeilGそれは本当です。私のベータと指数の積は、形状1/2のガンマです（ガンマとガンマを使用して独立したガンマを構築する方法のため）。それから、その平方根は、法線の二乗がカイ二乗であるという事実を使用して、半正規です。

— 男

1

最近、正規分布の2つの変数の積を求める質問がありました（それを見つけることができません）。その質問には、2つの変換された一様分布変数の積から正規分布（より正確には2変量正規分布）を計算するBox-Muller変換に関するコメントまたは回答がありました。この答えはそれと大いに関係していますが、Box-Muller変換でこれらの変数の1つの逆を取ります。cc：@kjetilbhalvorsen

— セクストゥス

1

比率が計算される2つの独立した分布が同じである場合、特に感謝します

存在しない全く通常の変数を持つ2つの独立変数の比率として記述することができるという可能性と同じ（例えば、スケーリングされた両者の比であるF分布として分布または配布ファミリー $\chi^2$ 分布する変数またはあるコーシー分布は平均がゼロの2つの正規分布変数の比率）。

任意のための：と仮定 $A, B \sim F$ $F$ 我々が持っている同じ分布や分布族である
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
$A$ と $B$ を逆にこともできなければなりません（同じ分布または分布族を持つ2つの独立変数の比として正規変数を書くことができる場合、順序を逆にすることができます）
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
しかし、もし $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 、次に $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ （正常分散変数の逆数である真でないができない他の正常分散の変数）。

より広い結論：分布群 $\mathcal{F}_X$ の変数を別の分布群 $\mathcal{F}_Y$ の変数の比として書くことができる場合、逆数を取ることで群 $\mathcal{F}_X$ が閉じている必要があります（すなわち、分布が $\mathcal{F}_X$ の逆数の分布も $\mathcal{F}_X$ ）。

例えば、コーシー分布変数の逆もコーシー分布です。F分布変数の逆もF分布です。

この「if」が「iff」ではない場合、その逆は成り立ちません。場合 $X$ 及び $1/X$ 同じ分布ファミリーであり、常に同じ分布ファミリーからの推薦と分母との比の分布のように書くことができない可能性があります。

反例：ファミリ内の任意の $X$ に対して同じファミリ内に $1/X$ があるが、 $P(X=1)=0$ がない分布ファミリを想像でき。これは、分母と分母の分布が同じである比率分布の場合、 $P(X=1) \neq 0$ なければならないという事実と矛盾してい（X / Y線に沿った積分のような連続分布でも同様のことが表現できます） XとYが同じ分布を持ち、独立している場合、X、Yの散布図で= 1の密度はゼロではありません。

— セクストゥス・エンピリカス
ソース

見えない。

と

が正常であるために

作らないということは私には思えます

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

正常。

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— カール

より良い。今では理にかなっています。

— カール

1

最初の文から2番目の文がどのように続くかわかりません。商が正常であるような

が存在する場合、他の順序の商も正常である必要があるのはなぜですか？この質問は、すべての要素のペアの商が正常であるような分布族を求めていませんでした。

A, B

$A, B$

— ニールG

1

あなたの言っていることがわかりません。理想的には、あなたの答えは、誰かに編集を読ませる必要のない一貫した議論になるでしょう。現時点では、2番目のステートメント（ "we must have have"）は最初のステートメントからは続かないようです。

— ニールG

1

@kjetilbhalvorsenどのように修正する必要がありますか？「比率が計算される2つの独立した分布が同じである場合、特に感謝します」という質問の部分に回答しました。私は男の答えがそれにどのように関係しているかわかりません。

— セクストゥスエンピリカス

0

さて、これは1つですが、私はそれを証明せず、シミュレーションでのみ表示します。

等しく大きな形状パラメータを有する2つのベータ分布を作る（ここで、）から1/2を減算その一つの-値とそれを呼び出す「分子」。これにより、最大範囲が PDF $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ が、形状パラメーターが非常に大きいため、範囲の最大値に到達することはありません。ここでのヒストグラムであり、「分子」は $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

それは通常のベータ分布の範囲があるので、次に、私たちは、何を差し引くことなく、第2ベータ分布「分母」と呼ぶと、このようなものをルックスのいずれかを $(0,1)$

繰り返しますが、形状が非常に大きいため、値で最大範囲に近づきません。次に、商をプロットします正規分布が重ね合わされたPDFとしての。 $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

この場合、正規分布の結果は、次のような正規性の検定が行われます $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

言い換えれば、それが非常に困難であっても、比率が正常でないことを証明することはできません。

なんで？私の側の直感。私はそれを過剰に持っています。存在する場合、読者に残された証拠（おそらく、モーメントの方法の制限によるが、これも単なる直観である）。

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— カール
ソース

5

明らかに正規分布に非常に近いです。ただし、それは正規分布を持つこととまったく同じではなく、同じパラメーターを持つ通常の対称ベータに対する中心対称ベータの比率が実際に正規になるとは考えていません。私はこれについて間違っていることに非常に興味があります。

— Glen_b -Reinstateモニカ

2

あなたのソリューションは間違いなく正常ではありません。このアプローチを一般化することができます：ほぼ正規の分布を取り、その確率をゼロ以外の数に集中した分布で除算します。結果は（明らかに）Normalに近くなりますが、それでもNormalにはなりません。多数のテストを適用しても、非正規性を示すのに十分な大きさのサンプルを生成しなかったことが示されるため、納得できません。

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

それでは、問題の核心を見てみましょう。（1）正規性の反証は、積分近似の簡単な演習です。ここで詳細を述べる必要はありません。たとえば、200番目の瞬間が無限であることを簡単に証明できます。（2）答えは、分布とサンプルを混同します。 私が反対するのは、この根本的な混乱です。それが、この答えが役立つというより誤解を招くと思う理由です。ところで、私は最後のコメントを軽く書きませんでした。そのテストを実行しました。私はスーパーコンピューターではなく、10年前のPCワークステーションでそれを行いました。プロセス全体はほんの数秒で完了しました。

— whuber

1

@whuberどの近似をテストしていますか？第一、第二、第三ですか？ところで、もしそれらが近似値にすぎないのであれば、そうです。限定的なケースでは、それらが正確である可能性があることをお勧めします。統計はすべて近似値であるため、不安を共有することはしません。

— カール

-3

多くの可能性があると思います。ここに私が考えることができるものがあります。知られている（ゾロタレフ）、与えられた $X_1^G,X_2^G$ 2つの標準正規分布rv、および $X^C_{\gamma}$ コーシー分散rv

\frac{{バツ}_{1}^{G}}{{バツ}_{2}^{G}} = {バツ}_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

そして、安定分布の双対性により、 $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ （どこ $\gamma$ は、Cauchyのスケールパラメーターです）。そのため、正規分布は、正規分布とコーシー分布の比に起因する可能性があります。

{バツ}_{1}^{G} = {バツ}_{2}^{G} / {バツ}_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

希望の $\mu$ 両方のディストリビューションをそこに移動するだけです。（で $\mu$ ）。のために $\sigma$ 、比率分布に関する前述のウィキペディアのページには、2つの正規分布の比率の一般式があります。コーシーのスケール係数をその逆値（ $\gamma\rightarrow1/\gamma$ ）。

— チュセ
ソース

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比の明示的な計算またはシミュレーションを介して、仮説をテストしてください。どちらもあなたの主張が間違っていることを示します。エラーは、分配比を「キャンセル」して分子を「解決」できると仮定することにあります。

— whuber

1

ええと、それは真実です

X_{2}^{G}

$X_2^G$ 右側は日陰です。私が確認しておきます、チェックします。

— chuse