置換なしで描画する場合に予想される異なる色の数

含有URN考慮するのボールと、異なる色を 色のボールの比率であるのうちボール（）。私が描く壷からボールをすることなく、数に置き換え、ルック描かれたボールの中で異なる色の。分布適切な特性に応じて、関数としてのの期待は何ですか？P P I I N Σ I P iは = 1 、N ≤ $N$$P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$$n \leq N$γ N / N $\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

より多くの洞察を与えるために：すべてのおよび場合、正確に色、つまりが常に表示されます。そうでなければ、それは示すことができることを期待 IS。固定および場合、が均一の場合、を乗算する係数は最大になると思われます。多分、見られる異なる色の予想数は、関数として、たとえばエントロピー として制限されますか？$N = P$$p_i = 1/P$$i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$$n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

これは、サンプリングが置換なしで実行され、クーポンの配布が均一ではないことを除いて、クーポンコレクターの問題に関連しているようです。

あなたが持っていると仮定色のk ≤ Nを。ましょうbはiはボールの色の数を示すIようΣ bはiが = Nを。LET B = { B 1、... 、BのK }とせE I（B ）から成るセット記譜Iの要素サブセットB。ましょうQ nは、C表し我々が選択することができますいくつかの方法$k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$選択されたセットの異なる色の数がであるような上記のセットの要素。以下のために、C = 1つの式は単純です。$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

場合、最大2色のサイズのボールのセットから、正確に色のセットの数を引いた数をカウントできます。$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

$\binom{k - 1}{1}$は、合計色がある場合に2色になるように、固定色に色を追加できる方法の数です。一般的な式は、固定色があり、合計色（）がときに色を作りたい場合です。これで、の一般的な式を導出するためのすべてができました。、C 1 、C 2、K 、C 1つの ≤ C 2 ≤ K （ K - C $k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$Qn、$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

ボールを描いた場合、正確に色になる確率は次のとおりです。$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

また、場合、あることに注意してください。$\binom{x}{y} = 0$$y > x$

おそらく、数式を単純化できる特別なケースがあります。今回はそれらの単純化を見つけることを気にしませんでした。

依存する色の数を探している期待値は次のとおりです。$n$

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$