ゼロ以外の漸近的分散を持つ漸近的整合性-それは何を表していますか？

この問題は以前に発生しましたが、それを明確にする（そして分類する）答えを引き出すことを試みる特定の質問をしたいと思います。

「Poor Man's Asymptotics」では、

• （a）確率が定数に収束する一連のランダム変数

対照的に

• （b）確率が確率変数に収束する（したがって分布する）確率変数のシーケンス。

しかし、「賢者の漸近」では、次の場合もあります。

• （c）限界で非ゼロの分散を維持しながら、確率が定数に収束するランダム変数のシーケンス。

私の質問は次のとおりです（以下の自分の探索的回答から盗みます）：

どのように我々は漸近的に一致しているが、推定理解することができますまた、非ゼロ、有限の分散を持っているの？この差異は何を反映していますか？その動作は、「通常の」一貫した推定量とどのように異なりますか？

（c）で説明されている現象に関連するスレッド（コメントも参照）：

• 一貫性のある推定量と公平な推定量の違いは何ですか？

• /stats/120553/convergence-of-an-estimator-with-infinite-variance

• 漸近的に整合性のある推定器が無限大でゼロ分散を持たないのはなぜですか？

• 収束と制限分散がほぼ確実にゼロになる

27-10-2014：残念ながら（私にとっては）、誰もまだここに答えを投稿していません-おそらく、奇妙な「病理学的」な理論的な問題のように見えますが、それ以上のことはないのでしょうか？

ユーザーCardinalのコメントを引用します（後で説明します）。

「これは明らかに馬鹿げているが、単純な例である。アイデアは、何が間違っているのか、その理由を正確に説明することである。実用的な用途がある（私の強調）。例：有限な2次モーメントを持つ典型的なiidモデルを考える。無関係である と確率で各とを用いて、そうでなければゼロである任意し公平であり、分散は以下有界ましたで、および、ほぼ確実に（それは強く一貫だ）。私は運動としてバイアス」に関するケースを残します。 ZN ˉ X NZN=±N1/N2、A>0 θ N2 θ N→$\hat θ_n=\bar X_n+Z_n$$Z_n$$\bar X_n$$Z_n=\pm an$$1/n^2$$a>0$$\hat θ_n$$a^2$$\hat θ_n→\mu$

ここでのマーベリックランダム変数はなので、それについて何が言えるか見てみましょう。 この変数は、対応する確率をサポートするをサポートしています。ゼロを中心に対称なので、、{ - nは、0 、N } 、{ 1 / N 2、1 - 2 / N 2、1 / N 2$Z_n$
$\{-an,0,an\}$$\{1/n^2,1-2/n^2,1/n^2\}$

$$E(Z_n) = 0,\;\; \text{Var}(Z_n) = \frac {(-an)^2}{n^2} + 0 + \frac {(an)^2}{n^2} = 2a^2$$

これらの瞬間は依存しないので、私たちは簡単に書くことができると思います$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} E(Z_n) = 0,\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}\text{Var}(Z_n) = 2a^2$$

Poor Manの漸近法では、モーメントの限界が限界分布のモーメントと等しくなる条件を知っています。有限ケース分布の番目のモーメントが定数に収束する場合（この場合）、さらに、$r$

$$\exists \delta >0 :\lim \sup E(|Z_n|^{r+\delta}) < \infty$$

限界番目のモーメントがあろう極限分布の番目のモーメント。私たちの場合には$r$$r$

$$E(|Z_n|^{r+\delta}) = \frac {|-an|^{r+\delta}}{n^2} + 0 + \frac {|an|^{r+\delta}}{n^2} = 2a^{r+\delta}\cdot n^{r+\delta-2}$$

場合、これはで発散するため、この十分な条件は分散に対して成り立ちません（平均に対して成り立ちます）。 他の方法を取る：漸近分布とは何ですか？CDFい限界で非縮退CDFに収束しますか？δ > 0 Z N Z $r\geq2$$\delta >0$
$Z_n$$Z_n$

見えないように見えます：制限サポートは（これを書くことが許可されている場合）、および対応する確率です。私には定数のように見えます。 しかし、そもそも制限的な分布がない場合、その瞬間についてどうすれば話せますか？ { 0 、1 、0 $\{-\infty, 0, \infty\}$$\{0,1,0\}$

次に、推定器に戻ると、も定数に収束するため、 ˉ X$\hat \theta_n$$\bar X_n$

$\hat \theta_n$は（自明ではない）制限分布はありませんが、限界に分散があります。それとも、この分散は無限ですか？しかし、一定の分布を持つ無限分散ですか？

これをどうやって理解できますか？推定器について何を教えてくれますか？との本質的な違いは何ですか？〜θ N= ˉ X$\hat \theta_n = \bar X_n + Z_n$$\tilde \theta_n = \bar X_n$

私はあなたの質問に対してあまり満足のいく答えをしませんが、それは私には少しオープンすぎるように思えますが、なぜこの質問が難しい質問であるかについていくつかの光を当ててみましょう。

確率分布とランダム変数で使用する従来のトポロジが悪いという事実に苦労していると思います。私はブログでこれについてより大きな部分を書いたが、要約してみよう：収​​束の意味についての常識的な仮定に違反しながら、弱い（そして全変動）感覚で収束することができる。

たとえば、分散= 1（シーケンスが実行しているのとまったく同じ）を持ちながら、弱いトポロジで定数に収束できます。この場合、ほとんどの場合0に等しいが、無限に無限に等しいことはほとんどないこの巨大なランダム変数である（弱いトポロジの）制限分布があります。$Z_n$

私は個人的にこれを、弱いトポロジー（および全変動トポロジー）が、廃棄されるべき収束の貧弱な概念であることを意味すると考えます。実際に使用する収束のほとんどは、それよりも強力です。ただし、弱いトポロジの代わりに何を使用する必要があるのか​​本当にわかりません...

と本質的な違いを本当に見つけたい場合は、ここに私の考えがあります：両方の推定量は[0,1] -loss（when間違いの大きさは関係ありません）。ただし、ミスのサイズが問題になる場合は、が壊滅的に失敗することがあるため、がはるかに優れています。〜θ = ˉ X 〜θ $\hat \theta= \bar X+Z_n$$\tilde \theta=\bar X$$\tilde \theta$$\hat \theta$

推定量の確率が一貫しているが、推定量が「爆発」する確率がarbitrarily意的に小さい場合は、MSEではそうではありません。興味深い数学的好奇心ですが、実用的な目的のためにこれはあなたを悩ませるべきではありません。実際の目的のために、推定器には有限のサポートがあり、したがって爆発することはできません（現実世界は無限に小さくも大きくもありません）。

それでも「実世界」の連続近似を呼び出したい場合で、近似がMSEではなく確率で収束するようなものである場合は、それをそのまま使用してください。推定量は任意の大きな確率で正しい場合がありますが、爆発する可能性は常に任意です。幸いなことに、そうなると気付くでしょう。そうでなければ、あなたはそれを信頼することができます。:-)