時系列が2次定常である場合、これは厳密に定常であることを意味しますか？

プロセス場合の結合分布厳密に静止しているの結合分布と同じであるすべての、すべての、すべての $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ 。 $t_1,t_2,...,t_m$

平均が一定で、自己共分散関数がラグのみに依存する場合、プロセスは2次定常です。

したがって、2次定常は厳密な定常を意味しますか？

また、2次定常状態では、1次および2次のモーメントよりも高いモーメントについては想定されていません。1次モーメントは平均に対応しますが、2次モーメントは自己共分散に対応しますか？

— クラークソン
ソース

関連するディスカッションについては、この投稿も参照してください。

— javlacalle 2014年

2次定常と呼ぶもの（またはコースが呼ぶもの）は、多くの場合、弱定常または広義定常（WSS）または広義の定常と呼ばれます。WSSプロセスは、平均と自己共分散が一般に分布を決定するのに十分でないため、厳密に定常的であるとは限りません。もちろん、平均と共分散行列が共同分布を決定するため、WSS ガウスまたは通常のプロセス（すべての

が通常の確率変数であることを意味します）は厳密に定常的です。

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate、2014年

2次定常であるが厳密に定常ではないプロセスの例も参照してください。2つは複製に非常に近いです。この質問は、二次モーメントが自己共分散を指すかどうかについても尋ねますが、それは実際にはサブ質問であり、いずれにしてもスレッドで処理されます。二次定常プロセスとは何ですか？

— Silverfish

mathoverflow.net/questions/42141/...

— ロビーMcKilliamに

回答:

$k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ $t$

$X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ $t1,t2,...,tm$ $k$

したがって、厳密な定常性には2次の定常性が含まれますが、その逆は当てはまりません。

編集（@whuberのコメントへの回答として編集）

前のステートメントは、弱い定常性と強い定常性の一般的な理解です。弱い意味での定常性が強い意味での定常性を意味しないという考えは直観に同意するかもしれませんが、以下のコメントでwhuberによって指摘されているように、証明することはそれほど簡単ではないかもしれません。そのコメントで提案されているように、アイデアを説明するのに役立ちます。

2次定常（時間、平均、分散、共分散定数）であるが、厳密な意味では定常ではない（高次のモーメントは時間に依存する）プロセスをどのように定義できますか？

$t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

$5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

独立した観測値を考慮したため、共分散も一定でゼロに等しくなっています。これはささいなことのように思えるかもしれません。そのため、次の自己回帰モデルに従って、観測間に依存関係を作成できます。

y_{t} = ϕ y_{t - 1} + ϵ_{t}, | ϕ | < 1, t = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{t} \sim {\begin{cases} N (0, σ^{2} = 5 / 3) & if t \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ t_{5} & if t \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$|\phi| < 1$

$20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

結果は私が期待したものではありません：

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— Javlacalle
ソース

あなたは正しいですが、最終的な結論を適切に示していません。（2次の定常プロセスのより高いモーメントは、最初の2つのモーメントとは無関係に規定できると推測しているようですが、それは（一部は当てはまりますが）明白ではありません。）結論を示す最も強力な方法は、 2次定常であるが定常ではないプロセスを示す。独立したランダム変数の適切なシーケンスを使用してこれを行うのは簡単ですが、すべての遅延で消失しない相関がある例を提供することは興味深いでしょう。

— whuber

@whuber回答を編集しました。私はあなたの要点を理解したと思ったが、あなたの考えに従う私の試みは完全に満足のいくものではなかった。

— javlacalle 14年

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

私は厳密な定常性と共分散定常性を注文しません（後者についても「弱い」という用語を使用すると、残念ながらそのような順序を指します）。その理由は、厳密な定常性は共分散定常性を意味しないためです。プロセスは厳密に定常である可能性がありますが、分布モーメントが存在しないか無限である可能性があります。この場合、この厳密に定常的なプロセスは共分散定常ではありません。

— Alecos Papadopoulos 2014

モーメントの非存在を直接シミュレーションすることはできません。些細な例をとるために、コーシーの厳密に定常的なプロセスを作成します。プロセスの動作は反復的であるため、グラフは完全に「定常的」に見えます。これは、存在する場合にのみモーメントに依存する動作です。それらが存在しない場合、動作は説明され、分布の他の特性に依存します。

— Alecos Papadopoulos 2014

コメントできないので、@ javlacalleの回答には注意が必要なので、これは別の回答です。

@javlacalleが書いた

厳密な定常性には2次の定常性が含まれますが、その逆は当てはまりません。

ただし、強い定常性が弱い定常性を意味するわけではありません。その理由は、強い定常性は、プロセスに必ず有限の2次モーメントがあることを意味しないためです。たとえば、標準のコーシー分布のiidプロセスは厳密に定常的ですが、有限の2次モーメントはありません。確かに、有限の2次モーメントを持つことは、強い定常プロセスの弱い定常性にとって必要かつ十分な条件です。

参照：マイヤーズ、DE、1989。。。定常？それが問題です。数学。ゲオル。21、347–362。

— ShayPal5
ソース