2つの未知数がある場合、負の二項式は指数ファミリーのように表現できませんか？

分散パラメーターが既知の定数である場合、負の二項分布を指数の分布ファミリーとして表すための宿題がありました。これはかなり簡単でしたが、なぜパラメーターを固定しておく必要があるのか疑問に思いました。2つのパラメーターが不明なため、正しい形式にする方法を思い付くことができませんでした。

オンラインで見ると、それは不可能であるという主張を見つけました。しかし、私はこれが真実であるという証拠を見つけていません。自分でも思い付かないようです。誰かがこれの証拠を持っていますか？

以下に要求されるように、私はいくつかの主張を添付しました：

「固定数の故障（別名停止時間パラメーター）rを持つ負の二項分布のファミリーは指数ファミリーです。ただし、上記の固定パラメーターのいずれかが変動する場合、結果のファミリーは指数ファミリーではありません。」 http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

「2パラメータの負の2項分布は、指数ファミリのメンバーではありません。しかし、分散パラメーターを既知の固定定数として扱う場合、それはメンバーです。」 http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

— ラリー
ソース

上記のクレームをいくつか追加しました。

— Larry

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

— 西安
ソース