AngristとImbensのLATE定理の証明1994

内因性変数が結果及ぼす影響を推定するために使用できるバイナリー機器があると仮定します。楽器に有意な第1ステージがあり、ランダムに割り当てられ、除外制限を満たし、Angrist and Imbens（1994）で概説されているように単調性を満たしているとします。 http://www.jstor.org/discover/10.2307/2951620?uid=3738032&uid=2&uid=4&sid=21104754800073 $Z_i$ $D_i$ $Y_i$

彼らは、コンパイラである確率（）はおよびコンパイラーの部分潜在的な結果の差は $C_i$

Pr (C_{i}) = Pr (D_{i} = 1 | Z_{i} = 1) - Pr (D_{i} = 1 - Z_{i} = 0)

$\text{Pr}(C_i) = \text{Pr}(D_i = 1|Z_i = 1) - \text{Pr}(D_i = 1 - Z_i = 0)$

E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | C_{i}) = \frac{E (Y_{i} | Z_{i} = 1) - E (Y_{i} | Z_{i} = 0)}{E (D_{i} | Z_{i} = 1) - E (D_{i} | Z_{i} = 0)}

$E(Y_{i1} - Y_{i0}|C_i) = \frac{E(Y_i|Z_i=1)-E(Y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0)}$

誰かがこれらの2つの表現をどのように取得するか、さらに重要なことにそれらをどのように組み合わせるかについて、誰かがいくつかの光を当てることができますか？私は彼らのジャーナル記事からこれを理解しようとしますが、私はそれを理解することができません。これについて何か助けていただければ幸いです。

— ユーザー44903
ソース

回答:

最初の部分で、あなたは「有効な」楽器を持っていると述べました。これは、がと、つまり、機器に効果があることをします。治療を選択するかどうか。Angrist and Imbensの論文にも記載されているはずのこの観察は、残りの証拠の鍵となります。最初の段階では、であると想定します。つまり、コンパイラーの数（は数（）よりも多いということです。 $Cov(D_i,Z_i) \neq 0$ $P(D_i = 1|Z_i = 1) \neq P(D_i = 1|Z_i = 0)$ $P(D_i = 1|Z_i = 1) > P(D_i = 1|Z_i = 0)$ $C_i)$ $F_i$

除外制限を使用して（すべての { }には、。つまり、計測器が結果に直接影響しないため）、次のように書くことができます。としての母集団におけるコンパイラとデファイアのシェアの違いここで、2番目のステップは独立性を使用してしますの条件付け $z \in$ $0;1$ $Y_{iz} = Y_{i0z} = Y_{i1z}$

\begin{aligned} P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 1) - P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 0) & = P (D_{i 1} = 1 | Z_{i} = 1) - P (D_{i 0} = 1 | Z_{i} = 0) \\ = P (D_{i 1} = 1) - P (D_{i 0} = 0) \\ = [P (D_{i 1} = 1, D_{i 0} = 0) + P (D_{i 1} = 1, D_{i 0} = 1)] - [P (D_{i 1} = 0, D_{i 0} = 1) + P (D_{i 1} = 1, D_{i 0} = 1)] \\ = P (C_{i}) - P (F_{i}) \end{aligned}

$\begin{align} P(D_i = 1|Z_i = 1) - P(D_i = 1|Z_i = 0) &= P(D_{i1} = 1|Z_i = 1) - P(D_{i0} = 1|Z_i = 0) \newline &= P(D_{i1} = 1) - P(D_{i0} = 0) \newline &= \left[ P(D_{i1} = 1, D_{i0} = 0) + P(D_{i1} = 1, D_{i0} = 1) \right] - \left[ P(D_{i1} = 0, D_{i0} = 1) + P(D_{i1} = 1, D_{i0} = 1) \right] \newline &= P(C_i) – P(F_i) \end{align}$

Z_{i}

$Z_i$ 潜在的な結果は機器とは無関係だからです。3番目のステップでは、全確率の法則を使用します。最後のステップでは、基本的には反抗者が存在しないと仮定する単調性のみを使用する必要があるため、でこれは、2SLS回帰の最初の段階の係数になります。単調性の仮定はこれにとって非常に重要であり、違反する可能性のある理由について考え抜く必要があります（ただし、単調性は緩和できます。たとえば、de Chaisemartin（2012）の「必要なのはLATEだけ」を参照）。

P (F_{i}) = 0

$P(F_i) = 0$

P (C_{i}) = P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 1) - P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 0) .

$P(C_i) = P(D_i = 1|Z_i = 1) - P(D_i = 1|Z_i = 0).$

証明の2番目の部分は、同様のパスに従います。このため、観察された治療ステータスはあることを覚えておく必要があります。これは、同じ個人の両方の潜在的な結果を観察できないためです。このようにして、として、観測された結果を潜在的な結果、治療ステータス、および機器に関連付けることができます証明の2番目の部分では、器のスイッチをオンおよびオンにしたときの期待される結果の差を取り、前の観測結果の表現と除外制限を使用して取得するための最初のステップ：

D_{i} = Z_{i} D_{i 1} + (1 - Z_{i}) D_{i 0}

$D_i = Z_iD_{i1} + (1-Z_i)D_{i0}$

Y_{i} = (1 - Z_{i}) (1 - D_{i}) Y_{i 00} + Z_{i} (1 - D_{i}) Y_{i 10} + (1 - Z_{i}) D_{i} Y_{i 01} + Z_{i} D_{i} Y_{i 11}

$Y_i = (1-Z_i)(1-D_i)Y_{i00} + Z_i(1-D_i)Y_{i10} + (1-Z_i)D_iY_{i01} + Z_iD_iY_{i11}$

\begin{aligned} E (Y_{i} | Z_{i} = 1) - E (Y_{i} | Z_{i} = 0) & = E (Y_{i 1} D_{i} + Y_{i 0} (1 - D_{i}) | Z_{i} = 0) \\ - E (Y_{i 1} D_{i} + Y_{i 0} (1 - D_{i}) | Z_{i} = 1) \\ = E (Y_{i 1} D_{i 1} + Y_{i 0} (1 - D_{i 1}) | Z_{i} = 1) \\ - E (Y_{i 1} D_{i 0} + Y_{i 0} (1 - D_{i 0}) | Z_{i} = 0) \\ = E (Y_{i 1} D_{i 1} + Y_{i 0} (1 - D_{i 1})) \\ - E (Y_{i 1} D_{i 0} + Y_{i 0} (1 - D_{i 0})) \\ = E ((Y_{i 1} - Y_{i 0}) (D_{i 1} - D_{i 0})) \\ = E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | D_{i 1} - D_{i 0} = 1) P (D_{i 1} - D_{i 0} = 1) \\ - E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | D_{i 1} - D_{i 0} = - 1) P (D_{i 1} - D_{i 0} = - 1) \\ = E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | C_{i}) P (C_{i}) - E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | F_{i}) P (F_{i}) \\ = E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | C_{i}) P (C_{i}) \end{aligned}

$\begin{align} E(Y_i|Z_i = 1) – E(Y_i|Z_i=0) &= E(Y_{i1}D_i + Y_{i0}(1-D_i)|Z_i=0) \newline &- E(Y_{i1}D_i + Y_{i0}(1-D_i)|Z_i=1)\newline &= E(Y_{i1}D_{i1} + Y_{i0}(1-D_{i1})|Z_i=1) \newline &- E(Y_{i1}D_{i0} + Y_{i0}(1-D_{i0})|Z_i=0) \newline &= E(Y_{i1}D_{i1} + Y_{i0}(1-D_{i1})) \newline &- E(Y_{i1}D_{i0} + Y_{i0}(1-D_{i0})) \newline &= E((Y_{i1}-Y_{i0})(D_{i1}-D_{i0})) \newline &= E(Y_{i1}-Y_{i0}|D_{i1}-D_{i0}=1)P(D_{i1}-D_{i0} = 1) \newline &- E(Y_{i1}-Y_{i0}|D_{i1}-D_{i0}=-1)P(D_{i1}-D_{i0} = -1) \newline &= E(Y_{i1}-Y_{i0}|C_i)P(C_i) - E(Y_{i1}-Y_{i0}|F_i)P(F_i) \newline &= E(Y_{i1}-Y_{i0}|C_i)P(C_i) \end{align}$

これはかなりの作業でしたが、実行する必要がある手順を知っていればそれほど悪くはありません。2行目では、除外の制限を再度使用して、潜在的な治療状態を書き出します。3行目では、独立性を使用して、以前と同様にの条件付けをます。4行目では、項を因数分解します。5行目は反復期待値の法則を使用しています。最後の行は、単調性の仮定、つまりにより発生し。次に、最後のステップとして除算するだけで、 $Z_i$ $P(F_i)=0$

\begin{aligned} E (Y_{i 1} - Y_{i 0} | C_{i}) & = \frac{E (Y_{i} | Z_{i} = 1) - E (Y_{i} | Z_{i} = 0)}{P (C_{i})} \\ = \frac{E (Y_{i} | Z_{i} = 1) - E (Y_{i} | Z_{i} = 0)}{P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 1) - P (D_{i} = 1 | Z_{i} = 0)} \\ = \frac{E (Y_{i} | Z_{i} = 1) - E (Y_{i} | Z_{i} = 0)}{E (D_{i} | Z_{i} = 1) - E (D_{i} | Z_{i} = 0)} \end{aligned}

$\begin{align} E(Y_{i1}-Y_{i0}|C_i) &= \frac{E(Y_i|Z_i = 1) – E(Y_i|Z_i=0)}{P(C_i)} \newline &= \frac{E(Y_i|Z_i = 1) – E(Y_i|Z_i=0)}{P(D_i = 1|Z_i = 1) - P(D_i = 1|Z_i = 0)} \newline &= \frac{E(Y_i|Z_i = 1) – E(Y_i|Z_i=0)}{E(D_i|Z_i = 1) - E(D_i|Z_i = 0)} \end{align}$ とはバイナリなので。これは、2つの証明をどのように組み合わせ、最終的な表現に到達するかを示しています。

D_{i}

$D_i$

Z_{i}

$Z_i$

— アンディ
ソース

人には4つのタイプがあります：

Never Takers（NT）：Zの両方の値で $D = 0$
Defiers（DF）：およびとき $D=0$ $Z =1$ $D=1$ $Z =0$
示すコンパイラ（C）：場合およびとき $D=1$ $Z =1$ $D=0$ $Z =0$
Always Takers（AT）：両方の値で。 $D =1$ $Z$

Wald推定量の式は次のとおりです。

Δ_{I V} = \frac{E (Y | Z = 1) - E (Y | Z = 0)}{P r (D = 1 | Z = 1) - P r (D = 1 | Z = 0)}

$\Delta_{IV} = \frac{E(Y|Z=1)−E(Y|Z=0)}{Pr(D=1|Z =1)−Pr(D=1|Z =0)}$

4つのグループと確率の基本ルールを使用して、2つの分子の部分を次のように書き換えることができます： and

E (Y | Z = 1) = E (Y_{1} | A T) \cdot P r (A T) + E (Y_{1} | C) \cdot P r (C) + E (Y_{0} | D F) \cdot P r (D F) + E (Y_{0} | N T) \cdot P r (N T)

E (Y | Z = 0) = E (Y_{1} | A T) \cdot P r (A T) + E (Y_{0} | C) \cdot P r (C) + E (Y_{1} | D F) \cdot P r (D F) + E (Y_{0} | N T) \cdot P r (N T)

2つの分母の項は次のとおりですおよび

P r (D = 1 | Z = 1) = P r (D = 1 | Z = 1, A T) \cdot P r (A T) + P r (D = 1 | Z = 1, C) \cdot P r (C) = P r (A T) + P r (C)

$Pr(D=1|Z =1)=Pr(D=1|Z =1,AT) \cdot Pr(AT)+Pr(D=1|Z =1,C) \cdot Pr(C) \\ =Pr(AT)+Pr(C)$

P r (D = 1 | Z = 0) = P r (D = 1 | Z = 0, A T) \cdot P r (A T) + P r (D = 1 | Z = 0, D F) \cdot P r (D F) = P r (A T) + P r (D F)

$Pr(D=1|Z =0)=Pr(D=1|Z = 0,AT) \cdot Pr(AT)+Pr(D=1|Z =0,DF) \cdot Pr(DF) \\ =Pr(AT)+Pr(DF)$

これらの最初は、最初の式に対応しています。

Waldの公式に戻ってこれらを接続すると、これらの項の一部が減算でキャンセルされ、これはある程度の洞察をもたらします。Wald IV推定量は、コンパイラーに対する治療効果と、反抗者に対する治療効果の負の加重平均です。

Δ_{I V} = \frac{[E (Y_{1} | C) \cdot P r (C) + E (Y_{0} | D) \cdot P r (D)] - [E (Y_{0} | C) \cdot P r (C) + E (Y_{1} | D F) \cdot P r (D F)]}{P r (C) - P r (D F)} .

$\Delta_{IV} =\frac{[E(Y_1 |C) \cdot Pr(C)+E(Y_0 |D) \cdot Pr(D)]−[E(Y_0 |C) \cdot Pr(C)+E(Y_1 |DF) \cdot Pr(DF)]}{Pr(C) − Pr(DF)}.$

ここで、2つの仮定を行います。最初に、単調性を仮定します。そのため、楽器は参加の確率を増加または減少させることしかできません。これは、ことを意味し。単調性の仮定は、治療のためのインデックス関数モデルを仮定することと同等です。2番目の仮定は、いくつかのコンパイラがあることです。つまり、です。一部の個人の行動は、機器によって変更する必要があります。これは、機器が関連する場合に当てはまります。これら2つの仮定により、 $Pr(DF) = 0$ $Pr(C) > 0$

Δ_{I V} = \frac{E (Y_{1} | C) \cdot P r (C) - E (Y_{0} | C) \cdot P r (C)}{P r (C)} = E (Y_{1} | C) - E (Y_{0} | C) = L A T E .

$\Delta_{IV} =\frac{E(Y_1 |C) \cdot Pr(C)−E(Y_0 |C) \cdot Pr(C)}{Pr(C)}=E(Y_1 |C)−E(Y_0 |C)=LATE.$

— Dimitriy V. Masterov
ソース

+1、2つの答えは互いに非常によく補完し合うと思います。これは、Wald推定量の直感と、純粋に技術的な方法で仮定を使用するのではなく、仮定がどこから来るのかを示しています

— Andy