ここで、

8

私は期待を計算しようとしています任意のための（のためのならば期待が無限である）対数正規分布している、すなわち。

E [e^{c X}]

$E[e^{cX}]$

c < 0

$c<0$

c > 0

$c>0$

X

$X$

\log (X) \sim N (μ, σ)

$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

私の考えは、期待値を積分として書くことでしたが、どうすればよいかわかりませんでした：

E [e^{c X}] = \frac{1}{\sqrt{2 σ π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \exp (c x - \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d x

$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$

私は伊藤の公式も試しました（実際のタスクはを見つけることですここでは幾何学的なブラウン運動ですが、マルコフプロセスを見ているので、上記の問題に還元されます）。しかし、それもあまり有望に見えませんでした。誰かが私を助けてくれますか？ $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ $X$

self-study distributions expected-value lognormal moments

— エリアス・シュトレーレ
ソース

2

質問を編集して（左下の「編集」リンクをクリックして）、この質問に自習タグを追加することを検討してください。

— Alexis 14

3

これは、閉形式の表現を持たない正式なパワーシリーズとしてのみ存在します。

— whuber

1

どうもありがとうございます！これは私が望んだことではありませんが、それは私の教授が間違っていることも証明しています。そして、それはそれ自身の達成です;-)

— エリアス・ストレー14

回答:

7

$c$ $-c$

$X$ $(\mu, \sigma^2)$ $X=e^Y$ $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

E (\exp (- θ e^{y}) = e^{- θ μ} E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

Y_{0} \sim N (0, σ^{2})

$Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$

L (θ) = E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

L (θ)

$L(\theta)$

\frac{1}{\sqrt{1 + W (θ σ^{2})}} \exp {- \frac{1}{2 σ^{2}} W (θ σ^{2})^{2} - \frac{1}{σ^{2}} W (θ σ^{2})}

$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$

θ

$\theta$

W

$W$

— kjetil b halvorsen
ソース

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