多変量ガウスのコンターのハイパーボリューム

から抽出されたサイズサンプルで、原点までのユークリッド距離が最小の観測値の％の（行列式の対数）の共分散の（）値の値を探しています、二変量標準ガウス。 $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

-楕円のハイパーボリュームは、その共分散行列の行列式に比例するため、タイトルに比例します-

標準変量ガウス--By、Iは平均長さ2の0のベクトルであり、ランク2単位行列であるが.--- $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

、数値が前後の場合よりも、シミュレーションで簡単に確認でき。 $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

しかし、これについて正確な式を取得する方法（または失敗した場合、より良い近似）を思い出しません。

r mathematical-statistics simulation

— user603
ソース

あなたのテキストでは、二変量分布のパラメーターについては何も言われていません。また、ユークリッドdではなく、マハラノビスdに関するコードのようです。

— ttnphns 2014

標準ガウスとは、原点を中心とし、恒等共分散を持つものを意味します（これは編集します）。アイデンティティ共分散行列に対するマハラノビス距離==ユークリッド距離。

— user603 14

コードを使用している場合、またはコードのヘルプを求めている場合は、使用している言語またはプログラムを明記してください。

— ウルフィー14

さて、この質問は時々出てくるようですので、一概にお答えしたいと思います。

[1]で、著者は、 with symmetric positive definite、and $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

以下のための及び $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

次に、漸近的に、はに収束し。 $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

この近似は本当に良いです（ここではalpha = 60/70の場合）：

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

したがって、最後に、質問に答えるために、起点に対する最小ユークリッドノルムを持つ観測の共分散行列の行列式（これは、および）は、 $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C.、Haesbroeck G.（1999）。最小共分散行列式散布行列推定器の影響関数と効率。多変量解析のジャーナル。71. 161--190。

— user603
ソース