通常の切り捨てられた確率変数の合計

私が持っていると仮定しの独立した正規確率変数$n$

$$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$$

および。各の分布がそれぞれ内に切り捨てられている場合、の密度をどのように特徴付けますか？つまり、独立した正規分布からサンプリングし、各平均の内にないサンプルを破棄して、それらを合計しています。 Y X I（μ I - 2 σ I、μ I + 2 σ I）N 2 σ $Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$$Y$$X_i$$(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$$n$$2\sigma_i$

現在、私は以下のRコードでこれを行っています：

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

の密度を直接生成する方法はありますか？$Y$

打ち切られた法線の合計に対して、鞍点法による近似を使用できます。詳細についてはここでは触れませんが 、ヒントのガンマ分布の一般的な合計に対する私の答えを見ることができます 。必要なのは、打ち切られた法線のモーメント生成関数を見つけることです。これは簡単です。ここでは、密度がで 切り捨てられた標準法線に対してこれを行います whereここではそれぞれ標準法線の密度とcdfです。f （x ）= { $\pm 2$C=Φ（2）-Φ（-2）φ（X）、Φ（X

$$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$$ $C=\Phi(2) - \Phi(-2)$$\phi(x), \Phi(x)$

モーメント生成関数は、として計算できます。 そして、鞍点近似を使用できます。

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$$

なぜか知りたいのですが、はい、この分布の合計のpdfを生成する簡単な方法があります。

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")