乗算できる安定した分布？

安定分布は、畳み込みでは不変です。安定分布のどのサブファミリーも乗算で閉じられますか？場合という意味で、fは∈ FおよびG ∈ F、次いで生成物確率密度関数、F ⋅ G（正規化定数まで）も属するF？$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

注：この質問の内容を大幅に変更しました。しかし、考え方は基本的に同じであり、今でははるかに簡単です。部分的な答えしかなかったので、大丈夫だと思います。

$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

$f$$\alpha \lt 2$

$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

独特の答えは、正規分布ファミリが密度積閉じた安定分布のみであるということです。

これは部分的な回答であり、私は専門家ではありませんが、これは役立つかもしれません。2つの単峰型PDFの1つが対数凹型である場合、その畳み込みは単峰型です。Ibragimov（1956）により、これらのノートを介して。明らかに、両方が対数凹型である場合、畳み込みも対数凹型です。

製品のクロージャに関する限り、私が製品の配布について知っている唯一の「クリーン」な結果は、このmath.seの回答で説明されている制限の定理です。

これらの短縮バージョンはどうですか？有界均一分布はその形状パラメーターの限定的なケースであり、私が知る限り、それらは単峰性で対数凹状であるため、単峰性で対数凹状のたたみ込みがあります。私は彼らの製品についての手がかりはありません。今週後半に時間があれば、シミュレーションをいくつか実行して、切り捨てられたエラー分布の対数凹積が得られるかどうかを確認できます。Govindarajulu（1966）が役立つかもしれません。

クロスポスティングのポリシーが何であるかはわかりませんが、math.seの人々もあなたを助けることができるようです。好奇心から、確率分布から代数構造を構築しようとしていますか？