特性関数から密度を見つける方法は？

分布には特徴的な機能があります

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

分布が完全に連続であることを示し、分布の密度関数を記述します。

試み：

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

以下のための同様の結果以来乗されます。 $[0,\infty]$ $t$

積分が正しく行われたかどうかはよくわかりませんが、の絶対値が $\phi(t)$ より小さいことを示すことができれば、関数は完全に連続です。 $\infty$

— statsguyz
ソース

多項式は、を使用します。これにより、両方の尾が統合可能になります。

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$

p

$p$

— Stefan Hansen

密度関数は逆フーリエ変換で見つかります。 そのような密度が存在する場合、分布の密度関数は次のように与えられます

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

この積分は2つに分割でき、それぞれに次の形式の被積分関数があります。

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

ここで、は負の先行項を持つ2次形式で、は負でない整数です。これにより、各被積分関数はシュワルツ（急速に減少する）関数になり、任意の積分可能性が保証されます。統合性は、それが継続的であることを証明します。急激な減少は、それが完全に継続的であることを証明しています。積分は、指数関数の正方形を完成させ、ガウス分布の偶数倍のモーメントに減らすことで、簡単に実行できます。結果は $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

継続分布の絶対連続の以前の結論を確認しました。 $f$

fのプロット

この（対称）変数の2乗には、ガンマ分布があります。 $(3/2, 1)$

あるいは、

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- i)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

ガウスの2次導関数に比例し、密度特性関数の演算子は変数による分布関数の乗算に等しいため存在し、cfがである密度の倍に比例します。これは、密度が比例するガウス（正規）分布としてすぐに認識できます。この時点で必要なのは、積分または標準偏差を使用した正規分布の分散を計算することにより、正規化定数を計算することだけです。 $e^{-t^2/4}$ $-id/dt$ $f(x)$ $x^2$ $2e^{-t^2/4}$ $e^{-x^2}$ $2/\sqrt{\pi}$ $\sqrt{1/2}$

— whuber
ソース