カイ2乗検定とカイ2乗分布の理解

私はカイ二乗検定の背後にある論理を理解しようとしています。

カイ2乗検定は。χ2は、その後、帰無仮説を棄却かないためにp.valueを見つけるためにカイ二乗分布と比較されます。H0：観測値は、期待値の作成に使用した分布から取得されます。たとえば、取得の確率が予想どおりpで与えられるかどうかをテストできます。したがって、100回反転し、nHと1−nHを見つけます。我々は（期待されているものに我々の発見を比較したい100⋅P）。二項分布を使用することもできますが、それは問題のポイントではありません…問題は次のとおりです。$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

あなたはなぜ、帰無仮説の下で、説明していただけますはカイ二乗分布に従いますか？$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

カイ2乗分布について知っているのは、次のカイ2乗分布がkの標準正規分布の2乗の合計であることだけです。$k$$k$

二項分布を使用することもできますが、それは問題のポイントではありません…

それにもかかわらず、それはあなたの実際の質問に対する私たちの出発点です。多少非公式に説明します。

より一般的に二項の場合を考えてみましょう：

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

仮定及びPようにしているYはよく同じ平均と分散を持つ正規によって近似される（いくつかの典型的な要件は、よりも分（N 、P 、N （1 - P ））小さくない、またはそのn個のP （1 - P ）は小さくありません）。$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

そして、約になります〜χ 2 1。ここで、Yは成功の数です。$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

我々は及びヴァー（Y ）= N P （1 - Pを）。$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

（テストの場合、は既知であり、pはH 0の下で指定されています。推定は行いません。）$n$$p$$H_0$

だから、約になります〜χ 2 $(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$。

ことに注意してください。また、$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$。

したがって$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

これは、二項の場合のカイ二乗統計です。

したがって、その場合、カイ2乗統計量は（ほぼ）標準正規確率変数の2乗の分布を持つ必要があります。