FIFAパニーニアルバムを完成させるには、何枚のステッカーが必要ですか？

FIFA Panini Online Sticker Albumをプレイしています。これは、サッカーワールドカップ、欧州選手権、およびその他のトーナメント向けに通常公開されている古典的なPaniniアルバムをインターネットで採用したものです。

アルバムには、424種類のステッカーのプレースホルダーがあります。ゲームの目的は424個すべてを集めることです。ステッカーは5パック入りで、オンラインで見つけたコードから入手できます（または、古典的な印刷アルバムの場合は、地元の新聞売り場で購入します）。

私は次のことを仮定しています：

すべてのステッカーは同じ量で発行されます。
ステッカーの1パックには重複が含まれていません。

424個のユニークステッカーがすべて揃っていることを合理的に（90％の場合）確認するために取得する必要があるステッカーのパックの数を調べるにはどうすればよいですか？

probability coupon-collector-problem

— ヴィダール・S・ラムダル
ソース

クーポンコレクターの問題に関連する他の質問を読むことで、多くの洞察を得ることができます。

— -Glen_b-モニカーを復活14

700パックが必要です。424個のステッカーすべてを取得する可能性は90.0024％になります。チャンスを95％にするには761、99％にするには898が必要です。（セットを完了するには、平均して約560個のパックが必要です。352回未満しか必要ないことはありません（1000回に1回未満）。）

— whuber

最初の仮定ができるかどうかはわかりません。「シャイニー」はまれになる傾向があります。

— ジェームズ

うーん、Asuranceturixが投稿したドキュメントから私が読むことができたものから、彼らは大きな違いがないことを証明しました。

— ヴィダールS.ラムダル14年

@ VidarS.Ramdal私は訂正します。

— ジェームズ14年

回答:

これは美しいクーポンコレクターの問題であり、ステッカーが5枚入っているという事実によって少しひねりが加えられています。

ステッカーを個別に購入した場合、結果は既知です。こちらをご覧ください。

個別に購入したステッカーの90％上限の推定値はすべて、5パックの問題の上限でもありますが、上限はそれほど近くありません。

5個の依存関係のパックを使用して、90％の確率で上限を上げると、はるかに難しくなり、はるかに良い結果が得られないと思います。

だから、テール推定使ってとおよび、あなたは良い答えを得るでしょう。 $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

編集：

記事「グループ図面とコレクターの問題」（ヴォルフガングStadje）、Assuranceturixによってもたらされた記事の参照、プレゼント「ステッカーパック」とのクーポンコレクター問題の正確な解析解。

$S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

定理によると：

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

そのため、OPについてはとます。従来のクーポンコレクターの問題（729パック）の推定値に近い値でいくつかの試行を行ったところ、kが700の場合に90.02％の確率が得られました。 $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

したがって、上限からそれほど遠くありませんでした:)

— ジュンディアウス
ソース

そして、この良い答えでしょうか？

— ziggystar 14年

約3642個のランダムステッカー。したがって、「5個の問題のパック」の上限は729パック未満です。

— Jundiaius

先日、私は密接に関連した質問に対処する論文に出会いました：

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

正しく理解できた場合、購入する必要があるパックの予想数は次のようになります。

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

ただし、eqperesがコメントで指摘しているように、OPが求める特定の質問は、実際にはオープンアクセスではない別の論文で詳細に説明されています。

最終的な結論は、次の戦略を示唆しています（660枚のステッカーのアルバム）：

5枚のステッカーの100パックの箱を購入します（500枚のステッカー、すべて異なることが保証されています）
5枚のステッカーをさらに40パック購入して、不足しているステッカーが最大50個になるまで複製を交換します。
残りのステッカーを直接パニーニから購入します（これらのコストは約1.5倍です）。

これは、合計140パック+最大15パックに相当するステッカー（コスト別）をターゲット方式で購入したもので、最大155パックに相当します。

— Asuranceturix
ソース

すばらしいです！彼らの結果の中心的な議論は、「グループ図面に関するコレクターの問題」の記事にあるようです。それは悲しいことにオープンアクセスではありません。

— Jundiaius

ハハ、それは素晴らしい！また、スワッピングが結果にどのように影響するかについても詳しく説明します（これについては質問から省略しました）。非常に興味深い、ありがとう！

— ヴィダールS.ラムダル14年

論文で提供されたOPの問題の解決策を要約できますか？リンクの有効期限が切れると、この回答の有用性が低下します。

— アンディ14年

@アンディ：私はあなたの懸念に対処するために答えを編集しましたが、それは正確には元の質問に対する答えではありません。残念ながら、その答えを提供している元の論文は読みにくいのでごめんなさい。

— Asuranceturix 14年

明確なステッカーのみを含む100パック入りの箱には疑問があります。これは、ほとんど利益をもたらさずに巨大で不必要な製造の複雑化を引き起こすように思われます。

— jwg 14