Piを粗雑な乱数ジェネレータとして使用できますか？

私は最近math.SEでこの質問を見ました。考えさせられました。Piは粗雑な乱数ジェネレーターとして使用できますか？私は結果がよく知られていることを意味します（これまでどのくらいのpiが計算されましたか？）が、一度に1桁の数字をとるとPiはかなりランダムに見えるようです。

これはまったく意味がありますか？

http://www.befria.nu/elias/pi/binpi.htmlから掘り下げてpiのバイナリ値を取得し（10進数を使用するよりもバイトに変換する方が簡単だったため）、entで実行するバイトのランダムな分布を分析すると、次のようになります。

エントロピー= 7.954093ビット/バイト。

最適な圧縮により、この4096バイトのファイルのサイズが0％削減されます。

4096サンプルのカイ二乗分布は253.00であり、ランダムにこの値の52.36％を超えます。

データバイトの算術平均値は126.6736（127.5 =ランダム）です。

Piのモンテカルロ値は3.120234604（エラー0.68％）です。

シリアル相関係数は0.028195（完全に無相関= 0.0）です。

そうです、ランダムデータにpiを使用すると、かなりランダムなデータが得られます...それがよく知られているランダムデータであることを認識しています。

上記のコメントから...

何をしているのかにもよりますが、任意の素数の平方根の小数を乱数ジェネレータとして使用できると思います。これらは、少なくとも均等に分配された数字である必要があります。–パクシナム

そこで、2の平方根をバイナリで計算して、同じ問題のセットを解除しました。Wolframの反復を使用して、簡単なperlスクリプトを書きました

#!/usr/bin/perl
use strict;
use Math::BigInt;

my $u = Math::BigInt->new("2");
my $v = Math::BigInt->new("0");
my $i = 0;

while(1) {
    my $unew;
    my $vnew;

    if($u->bcmp($v) != 1) { # $u <= $v
        $unew = $u->bmul(4);
        $vnew = $v->bmul(2);
    } else {
        $unew = ($u->bsub($v)->bsub(1))->bmul(4);
        $vnew = ($v->badd(2))->bmul(2);
    }   

    $v = $vnew;
    $u = $unew;

    #print $i,"  ",$v,"\n";
    if($i++ > 10000) { last; }
}

open (BITS,"> bits.txt");
print BITS $v->as_bin();
close(BITS);

これを最初の10個のA095804と一致させて実行したので、シーケンスがあると確信しました。2進小数点を最初の桁の後に配置して2進で記述した場合の値v _nは、2の平方根の近似値を与えます。

このバイナリデータに対してentを使用すると、以下が生成されます。

Entropy = 7.840501 bits per byte.

Optimum compression would reduce the size
of this 1251 byte file by 1 percent.

Chi square distribution for 1251 samples is 277.84, and randomly
would exceed this value 15.58 percent of the times.

Arithmetic mean value of data bytes is 130.0616 (127.5 = random).
Monte Carlo value for Pi is 3.153846154 (error 0.39 percent).
Serial correlation coefficient is -0.045767 (totally uncorrelated = 0.0).

さて、乱数ジェネレータの他のプロパティの中でも、おそらく通常の数値にしたいでしょう。そして、あなたの質問を引き起こしたmath.SE質問のいくつかの回答は、現在のpiは正常であると信じられているが、証明されていないことを指摘しています。

このようなジェネレーターは擬似番号ジェネレーターになります。つまり、同じシードを指定すると、結果は常に同じになります。これは、ほとんどのフレームワークで、標準の乱数ジェネレーターを使用すると、擬似乱数であるという同じ問題があると言われています。

数字の分布は標準の乱数ジェネレーター¹と非常に似ているようであるため、πの数字は通常の乱数生成シナリオに使用できます。

問題は、通常の乱数ジェネレーターに比べてアルゴリズムがおそらく非常に遅いため、実際にはあまり役に立たないことです。

^{¹私はそれが真実だと信じていますが、証拠はありません。大量の数値に基づいて比較を行うのは興味深いことです（複雑にすることはありません）。}

piの数字のランダム性（または他のシーケンス）は、いわゆる「バッテリーテスト」によってほぼ間違いなくテストできます。人気のあるバッテリーテストの1つは、ジョージマルサグリアのDiehard Battery Testです。また、NIST Special Publication 800-22には、このようなテストの多くと、これらのテストを-loおよびbehold-百万ビット以上のpiを含む多くの物理定数に適用した結果が記載されています。piの結果はレポートの付録Bに記載されており、次のようになります。

Statistical Test                            P-value
Frequency                                   0.578211
Block Frequency (m = 128)                   0.380615
Cusum-Forward                               0.628308
Cusum-Reverse                               0.663369
Runs                                        0.419268
Long Runs of Ones                           0.024390
Rank                                        0.083553
Spectral DFT                                0.010186
Non-overlapping Templates (m = 9, B = 000000001)          0.165757
Overlapping Templates (m = 9)               0.296897
Universal                                   0.669012
Approximate Entropy (m = 10)                0.361595
Random Excursions (x = +1)                  0.844143
Random Excursions Variant (x = -1)          0.760966
Linear Complexity (M = 500)                 0.255475
Serial (m = 16, 2m∇Ψ )                      0.143005

piは良いランダムシーケンスジェネレーターですか？上記の結果を見て（または、左の列の変数の意味がわからない場合は、その意味を検索して）、それがニーズを満たしているかどうかを確認してください。