二次引数を持つ正弦関数のヒルベルト変換
次の関数のヒルベルト変換を探しています。 H{sin(At2+Bt+π4)}H{sin(At2+Bt+π4)}\begin{equation} \mathcal{H}\bigg\{ \sin\Big(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}\Big) \bigg\} \end{equation} どこ AAA そして BBB 定数です A<0A<0A<0 そして B>0B>0B>0。 それはよく知られています H{sin(Bt)}=−cos(Bt)H{sin(Bt)}=−cos(Bt)\mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = -\cos(Bt)、これはヒルベルト変換を 1/πt1/πt1/{\pi t} 以下に示すようにスペクトル表現を使用します： H{sin(Bt)}=sin(Bt)∗1πtH{sin(Bt)}=sin(Bt)∗1πt\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \sin(Bt) *\frac{1}{\pi t} \end{equation} どこ ∗∗*たたみ込み演算子を示します。次のフーリエペアについて考えてみましょう。 F{1πt}=−jsgn(ω)F{1πt}=−jsgn(ω)\begin{equation} \mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\} = -\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega) \end{equation} これにより、問題は次のようにスペクトルで解決できます。 F{sin(Bt)∗1πt}=πj(δ(ω−B)−δ(ω+B))(−jsgn(ω))=−π(δ(ω−B)+δ(ω+B))F{sin(Bt)∗1πt}=πj(δ(ω−B)−δ(ω+B))(−jsgn(ω))=−π(δ(ω−B)+δ(ω+B))\begin{equation} \mathcal{F}\big\{\sin(Bt) *\frac{1}{\pi t}\big\} = …