二次引数を持つ正弦関数のヒルベルト変換

次の関数のヒルベルト変換を探しています。

H {\sin (A t^{2} + B t + \frac{π}{4})}

$\begin{equation} \mathcal{H}\bigg\{ \sin\Big(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}\Big) \bigg\} \end{equation}$

どこ $A$ そして $B$ 定数です $A<0$ そして $B>0$ 。

それはよく知られています $\mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = -\cos(Bt)$ 、これはヒルベルト変換を $1/{\pi t}$ 以下に示すようにスペクトル表現を使用します：

H {\sin (B t)} = \sin (B t) * \frac{1}{π t}

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \sin(Bt) *\frac{1}{\pi t} \end{equation}$

どこ $*$ たたみ込み演算子を示します。次のフーリエペアについて考えてみましょう。

F {\frac{1}{π t}} = - j s g n (ω)

$\begin{equation} \mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\} = -\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega) \end{equation}$

これにより、問題は次のようにスペクトルで解決できます。

F {\sin (B t) * \frac{1}{π t}} = \frac{π}{j} (δ (ω - B) - δ (ω + B)) (- j s g n (ω)) = - π (δ (ω - B) + δ (ω + B))

$\begin{equation} \mathcal{F}\big\{\sin(Bt) *\frac{1}{\pi t}\big\} = \frac{\pi}{\mathrm{j}} \big(\delta(\omega-B) - \delta(\omega+B)\big) \; \big(-\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega)\big)\\ % = -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \end{equation}$

ここで、2つのディラックデルタパルスは $+B$ そして $-B$ 角周波数、したがって符号関数が直接適用されます。したがって、

H {\sin (B t)} = F^{- 1} {- π (δ (ω - B) + δ (ω + B))} = - \cos (B t)

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \mathcal{F}^{-1}\Big\{ -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \Big\} = -\cos(Bt) \end{equation}$

ただし、同じ原理を適用することはできません $x(t) = \sin(At^2 + Bt + \pi/4)$ 、そのスペクトル関数は2つの重ね合わせた複素ガウス関数であるため、 $+B$ そして $-B$ 角周波数：

F {x (t)} = \frac{\sqrt{- \frac{π}{A}}}{2 j} (\exp (- j \frac{1}{4 A} (ω - B)^{2}) - \exp (+ j \frac{1}{4 A} (ω + B)^{2})) if A < 0

$\begin{equation} \mathcal{F}\{x(t)\} = \frac{\sqrt{-\frac{\pi}{A}}}{2 \mathrm{j}} \bigg( \exp\Big(-\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega-B)^2\Big) - \exp\Big(+\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega+B)^2\Big) \bigg) \quad \text{if} \quad A<0 \end{equation}$

各複素ガウス関数はすべての周波数に対して定義されているため、符号関数を適用しても問題は単純化または解決されません。また、ヒルベルト変換積分を直接解決しようとしましたが、成功しませんでした。どんな助けにも感謝します。

hilbert-transform

— andresnm
ソース

この場合、w（t）= 2 * A * t + Bです。その情報を参考にしていただけませんか？

— Ben

これを直接計算するのは難しいようです。

私の主張は次のとおりです。信号用 $s(t)$ 、いわゆる分析信号 $s_{\mathrm{an}}(t)$ によって得ることができます

s_{a n} (t) = s (t) + j H {s (t)}, where S_{a n} (ω) = 0 \forall ω < 0

$\begin{equation} s_{\mathrm{an}}(t) = s(t)+\mathrm{j} \mathcal{H}\{s(t)\}\,\,, \text{where}\,S_{\mathrm{an}}(\omega) = 0\,\forall\, \omega < 0 \end{equation}$ 分析信号は基本的に次のスペクトルコンテンツに対応します。

s (t)

$s(t)$ 正の周波数のみ。

単純な正弦波の最初の例として、解析信号を考慮すれば、ヒルベルト変換の結果を得ることができます。実際の正弦波は周波数成分で構成されています $\pm B$ 。その場合、分析信号は次のコンポーネントになります。 $B$ 、これは明らかに複雑な指数であり、ヒルベルト変換の結果をもたらします。

今あなたのチャープ信号のために $x(t)$ 、状況は少し複雑です。信号の仮想「瞬時周波数コース」について考えると、

ω_{バツ} （ t ） = \pm （ 2 あ t + B ） 。

$\begin{equation} \omega_{x}(t) = \pm (2At+B)\,. \end{equation}$ これはやや奇妙で、反対の勾配の2つの線形に変化する成分に対応し、ゼロ周波数点で交差します。

ω_{x} (t = - \frac{B}{2 A}) = 0

$\omega_{x}(t=-\frac{B}{2A})=0$ 。

これで、分析信号はこの周波数コースのゼロ線より上の部分を表す必要があります。 $\omega-t$ 平面（後でいくつかのプロットを追加する場合があります）。つまり、最初に負の勾配を持ち、周波数が0になり、次に突然正の勾配に変化する必要があります。

つまり、分析信号は次のようになります。

{バツ}_{a ん} （ t ） = c_{1} \exp （ - j （ あ t^{2} + B t + \frac{π}{4} ） ） \forall t < - \frac{B}{2 あ}

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_1 \exp{(-\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A} \end{equation}$ そして

{バツ}_{a ん} （ t ） = c_{2} \exp （ j （ あ t^{2} + B t + \frac{π}{4} ） ） \forall t \geq - \frac{B}{2 あ} 、

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_2 \exp{(\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,\,, \end{equation}$ どこ

c

$c$ 一定である

| c | = 1

$\vert c \vert = 1$ 。

これで、次のヒルベルト変換を決定できます。 $x(t)$ 分析信号の方程式を観察してチェックインする。これは

H {x (t)} = \cos (A t^{2} + B t + \frac{π}{4}) \forall t < - \frac{B}{2 A}, with c_{1} = - j,

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = \cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_1 = -\mathrm{j}\,, \end{equation}$ そして

H {x (t)} = - \cos (A t^{2} + B t + \frac{π}{4}) \forall t \geq - \frac{B}{2 A}, with c_{2} = j .

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = -\cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_2 = \mathrm{j}\,. \end{equation}$

絶対値関数を使用して、これらを1つの方程式として書くこともできます。いずれにせよ、ポイントはヒルベルト変換が不連続性を含んでいるように見えることであり、これが私が疑わしい計算をすることを特に混乱させるものです。

私はそれが多少「手探り」であることを知っていますが、一般的な考え/結果は正しいと思いますので、これが役に立てば幸いです！

— mateC
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