移動平均フィルターのカットオフ周波数は何ですか？

カットオフ周波数が7.8 Hzの移動平均フィルターを設計する必要があります。以前に移動平均フィルターを使用しましたが、私が知る限り、入力できるパラメーターは平均化するポイントの数だけです...これはカットオフ周波数とどのように関連しますか？

7.8 Hzの逆数は〜130 msであり、1000 Hzでサンプリングされたデータを使用しています。これは、130個のサンプルの移動平均フィルターウィンドウサイズを使用する必要があることを意味しますか、それとも私がここで見逃しているものがありますか？

移動平均フィルター（通称、ボックスカーフィルターとも呼ばれます）には、矩形のインパルス応答があります。

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

または、別の言い方をします：

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

離散時間システムの周波数応答はインパルス応答の離散時間フーリエ変換に等しいことを思い出して、次のように計算できます。

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

これを単純化するために、幾何級数の最初の項の合計に$N$既知の式を使用できます。

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

あなたの場合に最も興味があるのは、フィルターの振幅応答です。いくつかの簡単な操作を使用して、わかりやすい形式で取得できます。$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

これは理解しやすいとは思えません。ただし、オイラーのアイデンティティにより、次のことを思い出してください。

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

したがって、上記は次のように記述できます。

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

前に述べたように、あなたが本当に心配しているのは、周波数応答の大きさです。したがって、上記の大きさを利用して、さらに単純化することができます。

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

マグニチュードブラケット内の結果の関数は、ディリクレカーネルの形式です。それは時々呼ばれ、周期的なsincそれが似ているため、機能sinc関数を外観に多少、代わりに周期的です。

とにかく、カットオフ周波数の定義はやや不十分な仕様であるため（-3 dBポイント？-6 dBポイント？最初のサイドローブヌル？）、上記の式を使用して必要なものを解くことができます。具体的には、次のことができます。

1. $|H(\omega)|$

2. $\omega$$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. $N$

$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

これの逆は

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

この式は、大きなNに対して漸近的に正確であり、N = 2の場合は約2％の誤差があり、N> = 4の場合は0.5％未満です。

PS：2年後、ここでようやくアプローチが決まりました。結果は、付近のMA振幅スペクトルを近似することに基づいています。$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

上記はすべて、この投稿の主題である-3dBカットオフ周波数に関連しています。

時々、与えられた-3dBカットオフ周波数を持つ1次IIRローパスフィルター（単極LPF）に匹敵するストップバンドの減衰プロファイルを取得することは興味深いですが（LPFはリーキーインテグレーターとも呼ばれ、 DCに正確にではなく、その近くにポールがあります）。

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

このIIRフィルターと同様のノイズフィルター機能を備えたMAフィルターを取得し、3dBカットオフ周波数が同じになるように一致させたい場合、2つのスペクトルを比較すると、MAフィルターのストップバンドリップルが最終的になることがわかりますIIRフィルターよりも約3dB低い。

IIRフィルターと同じ阻止帯域リップル（つまり、同じノイズ電力減衰）を得るには、次のように式を変更できます。

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$