定常カルマンフィルター予測子の導出方法

カルマンフィルターに関する章で、私のDSPの本は、一見すると一見、一見、システムの定常カルマンフィルターであると述べています。

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

予測子があります

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

および定常状態ベクトル共分散とカルマンゲイン

ˉ K = ˉ P CT（C ˉ P CT+R）-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

ここで、とはそれぞれ入力ノイズと測定ノイズの共分散を示します。R w $Q$$R$$w$$v$

最小分散予測子からこれに到達する方法がわかりません。誰かがそれを説明してもらえますか、または表現を導き出すリソースを教えてくれますか？これは、時変最小分散フィルターであり、これを導出できます。

P（T+1|T）=A（P（t|t−1）−P（t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K （t ）= A P （t | t − 1 ）C T（C P （t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

ここから上記の固定フィルターにどのように移動するかについては確信がありません。

更新：時変フィルターにおよびを代入すると、静止フィルターですが、なぜ乗算するですか？これは、またはいずれかが実際にカルマンゲインを示していないことを意味する、残念な表記法の選択の症状ですか？K（T）=A ˉ K AK ˉ $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

あなたの派生は正しいです。

$\bar P = P(t|t-1)$および$K(t) = A \bar K$

これはあなたの混乱ですか：

1. なぜカルマンゲインおよび共分散行列式にという用語がないのですか？$t|t-1$
2. あなたの派生がそれが時変であることを示すとき、これはどのように「静止」することができますか？

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1. 本の一部の表記法の悪い選択

表現で見てみましょう： 。自体が関数であるという事実は、再帰的な関係を示しています。つまり、過去の値を使用します。そのため、すべての時点で同じではありません -反復ごとに変化します。 ˉ $\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. 「静止」という言葉の誤解。

本の著者が「静止した」と言ったとき、彼/彼女はとがすべての瞬間で同じ値を持っていることを意味しませんでした。代わりに、著者は、値に対するそれらの表現がすべての統計的実現に対して同じであることを強調したかった。定常性は、システムの統計が常に同じであることを意味する統計概念です。ともう一度見てください。\にのみ依存しますK ˉ P ˉ $P$$K$$\bar P$$\bar K$

• 自分自身の以前の値
• 決定論的であり、あなたの場合は時間不変である遷移行列と（ とは常に同じです）C A $A$$C$$A$$C$
• $Q$ノイズ共分散行列であるおよびこれらの2つのマトリックスは、ノイズの統計を記述し、すべての実現および時間インスタンスで同じです。$R$

カルマンゲインおよび状態共分散行列は、このランダムプロセスのすべての実現に対して同じ値を持ちます。（補足：これら2つの項はいずれも測定値依存しないため、事前に計算できます。）P y$K$$P$$y$

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結論：

あなたが導き出した「時変」方程式は、本の方程式と同等でした。その上、表記上の違いは、何が変化し、何が変化しないかについて、あなたの側にわずかな誤解がありました。