PSD（パワースペクトル密度）の説明

PSDの計算方法を理解しようとしています。コミュニケーションエンジニアリングの教科書をいくつか見てきましたが、役に立ちませんでした。私もオンラインで見ました。ウィキペディアには、最も良い説明があるようです。ただし、CDF（累積分布関数）を作成することを決定した部分で迷子になり、何らかの理由でそれを自己相関関数に関連付けることにします。

私が理解していないのは、PSDの計算とどのように関係する自己相関があるのでしょうか？PSDは、フーリエ変換（は時間に対する信号のパワーと単純に考えていました。 $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— ユーザー968243
ソース

どのように定義します

P (t)

$P(t)$ か？

— フォノン

私は本当にそれを何としても定義しません。それは単なる電力信号です。私はそれを定義しなければならない場合、それはだろう推測

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$ ...私はポイントはPSDではないということである推測

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$ 、それが持っています自己相関と何か関係があり、何も得られません

— ...-user968243

任意の信号に対して、そのようなパワーを実際に定義することはできません。電圧と電流の概念はありません。この場合のパワーは、波のパワーのように定義されます（必要に応じて電磁的です）。だから

、それは単一の数字ではなく、時間的に変化する量です。

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— フォノン

Wiener-Khinchinの定理について読んでください。あなたは、フォノンは、あなたが計算されていることを限度が一定であることをあなたに指摘し、時だけインパルスでそのフーリエ変換せているかを理解することを拒否され

、周波数領域では。それがあなたのボートを浮かせたら、それのために行きなさいが、他の誰もがそれを理解するようにそれはパワースペクトル密度ではない。

f = 0

$f=0$

— ディリップサルワテ

私はその定理について読んだことがあります...そして、フーリエ変換と自己相関をどのように関連付けるかを理解します。そして、フォノンが言ったことを理解することを拒否していません... @フォノンが言ったことを正確に理解しています。私が理解していないのは、自己相関式が使用されている理由であり、フーリエ変換方法が使用されている理由もわかりません（PSDを取得するには、フーリエ変換、大きさ、平方などを取得できます） ...それを行うとPSDが得られる理由がわかりませんが、適切な派生を見つけることができませんでした。

— -user968243

回答:

あなたは正しい、PSDは信号のパワーのフーリエ変換の計算と関係していて、それが何をするかを推測する必要があります。ただし、最初にPSDと自己相関関数の数学的関係を見てみましょう。

表記法：
- フーリエ変換： $F [バツ（ t ）] = バツ（ ω ） = \int_{- \infty}^{\infty} バツ（ t ） e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- （時間）自己相関関数： $R （ τ ） = バツ（ τ ） * バツ（ - τ ） = \int_{- \infty}^{\infty} バツ（ t ）バツ（ t + τ ） d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
自己相関関数のフーリエ変換が、確率信号信号のパワースペクトル密度に実際に等しいことを証明しましょう。 $x(t)$

F [R （ τ ）] = \int_{- \infty}^{\infty} R （ τ ） e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} バツ （ t ） バツ （ t + τ ） e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} バツ （ t ） \underset{F [バツ （ t + τ ）] = バツ （ ω ） e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} バツ （ t + τ ） e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= バツ （ ω ） \int_{- \infty}^{\infty} バツ （ t ） e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= バツ （ ω ） {バツ}^{*} （ ω ） = | バツ （ ω ） |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

それはどういう意味ですか？ 注：この説明は少し「ハッキング」です。しかし、ここに行く

$\mathcal{F}[x(t)]$

フーリエ変換の期待値を取得するとどうなりますか？これは機能しません。たとえば、ゼロ平均信号を考えてみましょう。

E {F [バツ （ t ）]} = F [E {バツ （ t ）}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [{バツ}^{2} （ t ）]} = F [\underset{Av。信号の力}{\underset{⏟}{E {{バツ}^{2} （ t ）}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

参照：

[1]通信1、PL。ドラゴッティ、インペリアルカレッジロンドン

[2]ホワイトノイズと推定、F。Tobar [未公開レポート]

— ssk08
ソース

d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

はい、そうです。

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

N

$N$

N

$N$

@Mohammadはそれを完璧にまとめました。

— ssk08

素敵な派生ですが、これはもっと簡単にできると思います

$r(t) = x(t)*x(-t)$

時間領域での畳み込みは、周波数領域での乗算です。

時間領域での時間反転は、周波数領域での「複素共役」です。

R （ ω ） = F {r （ t ）} = F {バツ （ t ）} F {バツ （ - t ）} = バツ （ ω ） {バツ}^{*} （ ω ） = | バツ （ ω ） |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— ヒルマー
ソース

自己相関は、信号と複素共役、時間反転自己との畳み込みではありませんか？

— ジム・クレイ

彼は信号が本物だと仮定していると思います。

— ssk08

@Jim＆ssk08：もちろん、あなたは両方とも正しいです。方程式を整理してくれてありがとう。

— ヒルマー

PSD（パワースペクトル密度）の説明

P（t ）P（t）P(t)

$P(t)$