画像のサイズ変更は、固有のカメラマトリックスにどのように影響しますか？

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サイズがHxWの画像で知られているカメラマトリックス（固有パラメーターと外部パラメーターの両方を知っています）があります。（必要な計算にこのマトリックスを使用します）。

もっと小さな画像を使いたい、例えば：（元の半分）。同じ関係を維持するために、マトリックスにどのような変更を加える必要がありますか？ $\frac{H}{2}\times \frac{W}{2}$

私は、持っている固有パラメータ、（AS、回転と並進） $K$ $R$ $T$

cam = K \cdot [R T]

$\text{cam} = K \cdot [R T]$

K = (\begin{matrix} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$K = \left( \begin{array}&a_x &0 &u_0\\0 &a_y &v_0 \\ 0 &0 &1\end{array} \right)$

$K$ は3 * 3です、、、およびに0.5（画像のサイズが変更された係数）を掛けることを考えましたが、ません。 $a_x$ $a_y$ $u_0$ $v_0$

— マトラビット
ソース

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注：サイズ変更された画像で使用する座標によって異なります。私はあなたがゼロベースのシステムを使用していると仮定しています（C、とは異なりなどMatlab）、0は0に変換されます。また、座標間のスキューがないと仮定しています。スキューがある場合は、同様に乗算する必要があります

短い答え：あなたはどの座標系を使用していると仮定すると、はい、あなたべき乗算によって0.5。 $u' = \frac{u}{2} , v' = \frac{v}{2}$ $a_x,a_y,u_0,v_0$

詳細な回答世界座標の点をカメラ座標変換する関数は次のとおりです。 $P$ $(x,y,z,1)->(u,v,S)$

(\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

ここで、、座標が均質であるからです。 $(u,v,S)->(u/S,v/S,1)$

要するに、これはと書くことができますここで、は上記の2つの行列の積で、はi 'です。マトリックスの行。（積はスカラー積です）。 $u= \frac{m_1 P}{m_3 P} , v = \frac{m_2 P}{m_3 P}$
$M$ $m_i$ $M$

画像のサイズ変更は次のように考えることができます：

u^{'} = u / 2, v^{'} = v / 2

$u'=u/2, v'=v/2$

かくして

u^{'} = (1 / 2) \frac{M_{1} P}{M_{3} P} v^{'} = (1 / 2) \frac{M_{2} P}{M_{3} P}

$u' = (1/2) \frac {M_1 P} {M_3 P} \\ v' = (1/2) \frac {M_2 P} {M_3 P}$

マトリックス形式に戻すと、次のようになります。

(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} a_{x} & 0 & u_{0} \\ 0 & a_{y} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_x & 0 & u_0 \\ 0 & a_y & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

等しい

(\begin{array}{ccc} 0.5 a_{x} & 0 & 0.5 u_{0} \\ 0 & 0.5 a_{y} & 0.5 v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_{x} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_{y} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \\ 0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \\ 0 & 0& 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array} \right)$

詳細については、Forsythの第3章-幾何学的なカメラのキャリブレーションを参照してください。

— アンドレイ・ラブシュタイン
ソース

説明ありがとうございました!!! 私はあなたがゼロベースのシステムで何を意味するのかわかりません、私はmatlabを使用しています、他の調整が必要ですか？

— マトラビット

@ matlabit、Matlabを使用している場合、1ベースのインデックス付けがあるため、の変換を使用する必要があります（最初要素は0ではなく1です）。この場合、関連する行列を計算してみてください。サブピクセルの精度が必要ない場合は、それを無視して、先ほど説明した式を使用できます。

u^{'} = (u - 1) / 2 + 1, v^{'} = (v - 1) / 2 + 1

$u' = (u-1)/2 + 1 , v' = (v-1)/2 + 1$

— アンドレイRubshtein

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Andreyは、彼の解法では0が0に変換されると仮定していると述べました。ピクセル座標を使用している場合、画像のサイズを変更するときにこれはおそらく当てはまりません。本当に必要な唯一の仮定は、画像変換を3x3マトリックスで表現できることです（Andreyが示したように）。カメラマトリックスを更新するには、画像変換を表すマトリックスを事前に乗算するだけです。

[new_camera_matrix] = [image_transform]*[old_camera_matrix]

例として、係数画像の解像度を変更する必要があり、インデックス付きピクセル座標0を使用しているとします。あなたの座標は関係によって変換されます $2^n$

$x' = 2^n*(x+.5)-.5$

$y' = 2^n*(y+.5)-.5$

これは行列で表すことができます

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

最終的なカメラマトリックスは

$\left( \begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 2^n & 2^{n-1}-.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} ax & 0 & u_0 \\ 0 & ay & v_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

— ハンマー
ソース

.5を追加してから.5を減算した理由を詳しく説明してください。0.5は係数スケーリングにのみ適用されますか？そうでない場合、そのサブピクセル数をどのように計算しますか？

2^{n}

$2^n$

— Gurumonster

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ポイントは、ピクセル "0、0"の中心は実際には "0、0"（=ピクセルの左上隅）ではなく、 "0.5、0.5"にあるということです。そのため、変換の前後にそのオフセットを考慮する必要があり、スケーリング係数に関係なく、係数は常に0.5です。

— ヤンリュッグ

そうだね

— ハンマー