「フーリエ変換では、同じ周波数で2つの位相を測定することはできません。」なぜですか？

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フーリエ変換では、同じ周波数で異なる位相の成分を区別できないことを読みました。たとえば、Mathoverflowまたはxrayphysicsでは、「フーリエ変換では同じ周波数で2つの位相を測定することはできません」という質問のタイトルがありました。

なぜ数学的にこれが本当ですか？

fourier-transform fourier

— Math然とした数学
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たとえば、のコンポーネントを区別できますか？できませんね。

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— イルマリカロネン

FTは、特定の信号を再構築するために一緒に追加できるコンポーネントを見つけます。ただし、これらのコンポーネントが元のコンポーネントに実際に存在したことを意味するものではありません。特定の信号を「構築」する方法は無限にありますが、信号には一意のFTが1つしかありません。

— ソロモン遅い

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これは、同じ周波数で異なる位相を持つ2つの正弦波信号が同時に存在することは、実際には同じ周波数での単一の正弦波と同等ですが、次のように新しい位相と振幅を持つためです。

2つの正弦波成分を次のように合計します。

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

次に、三角法の操作から、次のことを示すことができます。

バツ （ t ） = A \cos （ ω_{0} t + Φ ）

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

ここで、

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$ と

Φ = \tan^{- 1} (\frac{a \sin (ϕ) + b \sin (θ)}{a \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

したがって、実際には単一の正弦波（新しい位相と振幅）があるため、実際に区別するものはありません...

— Fat32
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私はトリガーをフォローしているので、私の脳はシャットダウンしているに違いありませんが、まだ混乱が渦巻いています.. OPは、それらが追加された日ではありませんでした。言い換えれば、一方を他方より「遅れて」開始するが追加しない2つの信号と考えると、それらを区別できますか？1つの周波数で2つのデータポイントを持つことができないため、それらを追加する必要がありますか？ありがとう。

— マークリーズ

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@ markleeds、OPは、彼がウィンドウフーリエ変換に言及しているとは言いませんでした。与えられたリンクは、通常の非ウィンドウバージョンを明確に示しています。フーリエ解析の通常バージョンでは、信号は異なる位相の正弦波の加重和として構成されていると想定されています。分析では、これらの重みとフェーズを取得します。それらのコレクションがスペクトルです。2つの正弦波を連結すると、このグローバルフーリエ解析では位相も区別できません。ただし、ウィンドウ化されたフーリエ変換は、そのような仕事のために設計されています。

— ステファンカールソン

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私のコメントが示唆したように、ウィンドウフーリエ変換についての言及を追加することは有益である可能性があります。@ Fat32に時間があれば、異なる周波数の2つの正弦波の連結に伴う不連続性と、それを分析しようとするとグローバルなフーリエ変換に追加される一見ランダムな周波数の範囲が得られる理由に言及できます。

— ステファンカールソン

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こんにちは@ markleeds、StefanKarlssonが既に示したように、問題は同じ周波数の2つの正弦波の重ね合わせ（同時加算的存在）の場合についてでした。フェーズは相対的な用語であり、絶対的なものではないことに注意してください。つまり、選択された共通（時間）原点（

上記）に関して測定されます。連結（位相シフトキーイング中など）は、ウィンドウの識別を可能にするが、あなたはまだ、とにかく位相差を伝えるために、共通の時間原点を参照する必要があります。それが、PSK受信機が厳密なパルス時間同期を必要とする理由です;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

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@smscは自分自身を繰り返すように感じますが、これら2本のケーブルの出力が追加され、FTを介して分析されると、複合位相とアンプを備えた単一の正弦波が表示されます...しかし、それらを追加して個別に分析しない場合、その後、相対的なフェーズを伝えることができます...そして、これはDFTとは関係ありません。

— -Fat32

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さらに読むと、「上記で説明した簡易版のフーリエ変換では位相シフトを説明できない-フーリエ変換は実際にどのようにそれを行うのか？」正弦波と余弦波を使用しているため、少し優れた説明があります。

「位相シフトの数学（オプション）。

位相シフトをシフトされていない正弦波と余弦波に分解する方法を確認するには、三角関数の同一性が必要です。sin（a + b）= sin（a）* cos（b）+ cos（a）* sin（ b）。

A * sin（2 *π* f * t +φ）= A * cos（φ）* sin（2 *π* f * t）+ A * sin（φ）* cos（2 *π* f * t）

ご覧のとおり、位相シフトにより正弦信号の振幅（エネルギー）の一部が余弦信号に移動しますが、周波数は変化しません。フーリエ変換の複素数表現を使用する場合、位相シフトは単純に複素平面内の値の回転を表し、大きさは変化しません。位相シフトが振幅を正弦波から余弦波にのみ移動させるという事実は、同じ周波数で異なる位相を持つ2つの信号を追加すると、その周波数で全体的な（平均）位相シフトを持つ信号が得られることを意味します。

実際には、より複雑です。「部分フーリエ手法」、「位相共役対称性」、および「FOVとk空間」を参照してください。「フェーズエンコーディングの概要-I」では、次のように説明しています。

"...同じ周波数で位相の異なる2つの正弦波（AとB）を加算すると、結果は同じ周波数で位相の異なる別の正弦波になります。正弦波の位相が互いに近い場合、建設的に干渉し、位相がずれると破壊的に干渉します。

...合計のみを見ると、特定の周波数と位相の正弦波が表示されます。この単一の観測から、波Aと波Bによる個々の寄与を整理することは不可能です。

ただし、異なるフェーズでシフトされたAとBを使用して2つの観測を行うことにより、合計のみを見て個々の寄与を決定することができます。これを以下のMR画像で示します。AとBは、同じエンコードされた周波数（ω）で共振する同じ垂直列の2つのピクセルです。具体的には、ステップ0（位相エンコード勾配が適用されていない場合のベースライン）で、A＆Bからの合計信号を一緒に書き込むことができます：So（t）= A sinωt+ B sinωt=（A + B）sinωt

...

ステップ1でのこの単一の測定から、個々の振幅AおよびBはまだわからず、それらの差（A-B）だけがわかります。ステップ0とステップ1の両方の情報を一緒に使用すると、単純な代数によって一意の信号寄与を抽出できます。

½[So + S1] =½[（A + B）+（A−B）] = A および ½[So − S1] =½[（A + B）−（A−B）] = B

「。

それ以外の場合は、次のようになります（画像A）：

さまざまなアルゴリズムからのアーティファクトを示すPFI：（A）基本アルゴリズム、（B）BAXアルゴリズム、（C）ゼロフィルアルゴリズム、（D）以前の一定の線形SDPS補正があったデータを使用した基本アルゴリズム、高次SDPSからのアーティファクトを示します。

— ロブ
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$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ 、そして我々は得る $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ 。これは、同じ周波数の2つの信号を処理する場合、時間依存部分を除外して、各信号を定数項で特徴付けたままにすることができることを示しています。もちろん、フーリエ変換を行う場合、定数項はファクタリングアウト。さらに注意することができます $c e^{\phi i}$ 大きさが $c$ そして、角度は $\phi$ 。そして、このベクトル空間で加算を実行できます。合計を表すベクトルは、被加数を表すベクトルの合計です。

したがって、両方の信号は出力の大きさに影響しますが、追加の信号は出力が位相空間のどこにあるかには影響しません。

— 蓄積
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円の合計を使用して、質問の幾何学的バージョンのパスを取得したいと思います。

正弦および余弦は「ちょうど」cisoidsの実部と虚部、または複素指数（いくつかの参照を見つけることができている？どのように私は直感的に複素指数を説明しない、解析信号のための3Dウィグルプロット：Heyserコークスクリュー/スパイラル、フーリエ変換しますアイデンティティ）。

取ったら $s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ 、その後 $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ 、または $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ 、そしてあなたは多くの組み合わせを行うことができます。cisoidの利点は、2D空間をより有効に使用できることです。これは、点が異なる速度で移動する円（ホイール）として描画できるためです $\omega$ 。「振幅の異なる周波数」の合計は、以下に示すように、半径と速度が異なる「回転ホイールの合計」（調和円、またはフーリエ級数アニメーションから借用）で表すことができます。

同じ周波数の2つの高調波の合計に戻ると、問題は次のようになります。組み合わせを分離または測定できますか。

a_{1} s_{ω 、 ϕ_{1}} （ t ） + a_{2} s_{ω 、 ϕ_{2}} （ t ） ？

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

定数 $a_1$ そして $a_2$ could be complex, so let us simplify the problem a bit before. Since Fourier has shift invariance properties, we can factorize either $e^{2 \pi i\phi_1}$ or $e^{2 \pi i\phi_2}$ , and keep only one phase difference. We can also factorize an amplitude (the biggest for instance), and reduce the question to the behavior of the simplified problem:

s_{ω, 0} (t) + a s_{ω, ϕ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

with $|a|<1$ . This simplification can be written as:

\begin{matrix} (1) & e^{2 π i (ω t)} + a e^{2 π i (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

and thus as:

\begin{matrix} (2) & (1 + a e^{2 π i ϕ}) e^{2 π i (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

which is another harmonic component with same frequency, but a different phase and amplitude. The complex number $(1+ae^{2\pi i\phi})$ could be rewritten as $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ , with trigonometric rules as detailed by @Fat32 (which I could detail later if needed). Now, let us geometrize the intuition. The unit circle is the motion of a point (say the tip of the valve) on a running bicycle wheel. The $a$ -radius circle is like a small spinning wheel attached to the valve (like the blue and red circles only from the picture above). An now, we look at the motion of a dot on the perimeter of the small wheel.

What does your question ask: if the angular rotation of the small an the big wheel are the same, you cannot tell whether the motion of the dot results from the combination of the motion of two wheels of radii $1$ and $a$ (with some initial angle) or from a single bigger wheel (of radius $\alpha$ ), with some other starting angle. This is what is mean by $\ref{a}$ and $\ref{b}$ .

In other words, neither a Fourier transform, nor a human eye, can distinguish components with the same frequency but different phase.

[[I'll add animations if I find the time]]

— Laurent Duval
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