再構成フィルター-実際にはどのように機能しますか？

再生のサンプリングレートとして192kHzを使用することをめぐる宗教戦争について、私は自分の理解を深めようとしています（インターネットの両側に豊富な資料があるようです）。再構成フィルターの仕組みを理解するのに苦労しています。

ナイキスト-シャノンのサンプリング定理しばしば抗192キャンプで引用は、基本的に、44.1kHzのサンプルレートが20kHzの損失なしの帯域制限された信号を再構築するのに十分であると述べています。ただし、Whittaker–Shannon補間式を見ると、理想的な再構成フィルターはすべてのサンプル、つまり過去および将来のすべてのサンプルにアクセスできる必要があるように思えます。

私はアナログオーディオの専門家ではありませんが、そのようなデバイスを構築できるとは思えません。せいぜい、十分な将来のサンプルが到着するのを「待つ」ために遅延が導入され、現在の出力の瞬間に対する利用できない将来のサンプルの寄与が無視できるようになると思います。

誰かが実用的な再構成フィルターがどのように機能するか、そしてそれらのトレードオフは何かを説明できますか？サンプルのウィンドウのみが利用可能である場合、または再構成の待ち時間が許容できない場合、ナイキストシャノンの定理に理論的に厳しい制限はありますか？

デジタルオーバーサンプリングフィルターによって導入される遅延の増加を許可することにより、フィルターの他の特性である通過帯域と阻止帯域のリップルと遷移帯域幅を改善して、任意にゼロに近づけることができます。オーバーサンプリング係数を増加して阻止帯域を拡大し、アナログフィルタリングの要件を緩和することができます。その結果、計算が複雑になりますが、フィルターによって導入される遅延時間は大幅に増加しません。

オーディオDACには通常、低遅延（レイテンシ）フィルターと鋭い周波数応答のロールオフフィルターの間で選択可能なデジタルオーバーサンプリングフィルターがあります。低遅延フィルターは、最小位相フィルター、または低分散（一部の周波数は他よりも遅延している）と低実効遅延の間の音響心理学的に調整された妥協であるかもしれません。シャープなロールオフフィルターは通常、対称的なインパルス応答と、通過帯域と阻止帯域に指定された最大リップルを備えた線形位相フィルターです。この種の仕様は、データシートで簡単に表現でき、システム設計に組み込むことができます。同等の等リップル線形位相フィルターをOctaveで設計できますremez。ここでは、通過帯域と阻止帯域リップルの重みが等しくなっています。

pkg load signal
x2x = []; x4x = [];
for n = [16:86]
  b2x = remez(2*n, [0, 20/44.1, (44.1-20)/44.1, 1], [1, 1, 0, 0], [1, 1], "bandpass", 128);
  b4x = remez(2*n, [0, 20/(44.1*2), (44.1-20)/(44.1*2), 1], [1, 1, 0, 0], [1, 1], "bandpass", 128);
  [h2x, w2x] = freqz(b2x); [h4x, w4x] = freqz(b4x);
  x2x = [x2x; (length(b2x)-1)/2/2, 20*log10(abs(h2x(end)))];
  x4x = [x4x; (length(b4x)-1)/2/4, 20*log10(abs(h4x(end)))];
endfor
plot(x2x(:,1), x2x(:,2), "x", x4x(:,1), x4x(:,2), "x", 29.2, -100, "x", 39.5, -110, "x", 43.3828125, -110, "x")
xlabel("group delay / f_s");
ylabel("stop band ripple (dB)");
text(29.2-2, -100-4, "AK4499");
text(39.5-2, -110+4, "CS43198");
text(43.3828125-2, -110-4, "AD1955");
grid on

このスクリプトはremez、0〜20 kHzの通過帯域と24.1 kHzから始まる阻止帯域のさまざまな次数フィルター（数値の問題なしで処理できるものによって制限されます）を設計し、2倍と4倍のオーバーサンプリングサンプリング周波数の小さな選択で動作します。 44.1 kHzのサンプリング周波数とプロット（図1）は、旭化成（AK4499）、アナログデバイス（AD1955）、およびCirrus Logic（CS43198）のフラグシップオーディオDACの同等のオーバーサンプリングデジタルフィルターのストップバンドリップル特性と共に示します。

図1. 2x（青）と4x（オレンジ）のオーバーサンプリングのremez阻止帯域と通過帯域のリップル-通過帯域と阻止帯域の重みが等しい、設計された線形位相ローパスデジタルフィルター。 14.1サンプリング周波数の44.1 kHzでのサンプリング周期。また、対応する通過帯域リップルがAK4499の8倍オーバーサンプリングデジタルフィルターで5×10 ^ -3 dB、デジタルとCS43198のアナログフィルター、およびAD1955の8倍オーバーサンプリングデジタルフィルターの場合は2×10 ^ -4 dB。ここで比較されるすべてのフィルターには、同じ遷移帯域境界があります：20 kHzから24.1 kHz。

44.1 kHzサンプリング周波数の場合、図1は、通過帯域リップルと阻止帯域リップルが等しく重み付けされている場合に、フィルターによって導入される遅延の関数として、線形位相オーバーサンプリングデジタルフィルターのパフォーマンスの下限を示します。この限界は、オーバーサンプリング比に大きく依存しません。DAC製造元は、AK4499の場合のように、通過帯域リップルを増やすことで、たとえば阻止帯域リップルを低くするために、異なる重み付けを選択できます。また、厳密な等リップル以外の基準でフィルターを最適化する場合もあります。たとえば、フィルタには、アナログ回路（ゼロ次ホールド、RCフィルタなど）による高周波の減衰の補償が含まれる場合があり、フィルタの遅延特性は、計算効率の高いマルチレートの実装を使用すると影響を受ける場合があります。

図1のremez(2*86, [0, 20/44.1, (44.1-20)/44.1, 1], [1, 1, 0, 0], [1, 1], "bandpass", 128)インパルス応答（図2）と周波数応答freqz（図3）をプロットすることで、図1の最も高性能なフィルターを詳しく見ることができます。

図2.からの最高パフォーマンスの線形位相2xオーバーサンプリングフィルターのインパルス応答remez。

図3.の最高性能の線形位相2xオーバーサンプリングフィルターの周波数応答remez。

8xオーバーサンプリングフィルターを見る方が興味深いでしょうが、ではremez失敗しerror: remez: insufficient extremals--cannot continueます。

サンプリング定理は完全に帯域制限された信号を必要とし、サンプリング周波数の2倍以下に帯域制限されます。これの問題は、無限の長さの信号（たとえば、ビッグバンの前に存在する）のみが完全に帯域制限できることです。これは、有限のサポートがあるドメインに関するフーリエ定理からです。

したがって、実際の信号はすべて、帯域制限が不完全であり、録音セッションの長さと、サンプリング前に使用されるローパスフィルタリングのインパルス応答の持続時間によって制限されます（たとえば、帯域制限が不完全）。したがって、サンプルのエイリアシングのために、有限のノイズフロアを想定する必要があります。したがって、再構築もこのノイズフロアよりも優れている必要はありません。したがって、完全な再構成式を妥当な有限期間までウィンドウ処理できます。オーディオの場合、このウィンドウ幅は、可聴音の最も低い周波数の周期の数倍程度に制限できます。これは、その前後の要素が可聴ピッチの知覚に大きく影響することはないためです（マスキングや適応しきい値などの他の要素）など）が支配する可能性があります）。

非常に高いサンプルレートの利点は、（不完全なプレサンプリングフィルタリングとポストサンプリングの再構成により）エイリアス周波数がさらに高くなり、物理的なマイクで拾われたり、かなりの大きさで通過したりする可能性がはるかに低いことです（上記）アンチエイリアシングフィルターによる熱ノイズフロアなど）。ここで他の回答が詳しく述べているように、これにより、物理的に実現可能なフィルターをより平坦にし、一般的な20〜20kの通過帯域でより線形な位相応答を実現し、ロールオフをサンプルレートの半分に近づけることができます。

簡単な答えですが、人間の聴覚は20kHzの帯域幅を超えないため、オーディオの保存と送信には44.1 kHzで十分です。問題は、ADCの前のアナログアンチエイリアシングフィルターは、20 kHzを十分に通過し、22.05 kHzを十分に遮断するために非常に鋭敏でなければならないことです。192 kHzのような高いレートでサンプリングする場合、アナログフィルターは遷移帯域がはるかに広いため、より単純で安価であり、20 kHzを通過させ、96 kHzでブロックする必要があります。レート変換とローパスフィルタリングをデジタル処理で行うことにより、エイリアシングなしで鋭いカットオフを実現できます。オーディオを再生し、再生のために信号をデジタルで192 kHzにアップサンプリングして再構築する場合も同様です。DAC出力アナログフィルターは安価でシンプルです。再構成フィルターは、20kHzのオーディオ帯域幅の後にエイリアス化されたスペクトル画像があまりなく、アナログフィルターがDACレートの実際のスペクトル画像を除去するのに十分なものである必要があります。したがって、ADCとDAC、およびおそらくオーディオのマスタリングでより高いレートを使用することは理にかなっていますが、犬とコウモリだけが聞くことができる周波数の送信と保存は、それらを生成できる機器（アンプ、スピーカー）は言うまでもなく、さらにコストがかかります。問題なく。したがって、基本的に各デジタルサンプルは無限に狭いインパルスであり、インパルスがサンプリングレートで繰り返されると、目的のベースバンド信号をそのままにしておく再構成フィルターでフィルター処理する必要があるスペクトル画像が作成されます。したがって、ADCとDAC、およびおそらくオーディオのマスタリングでより高いレートを使用することは理にかなっていますが、犬とコウモリだけが聞くことができる周波数の送信と保存は、それらを生成できる機器（アンプ、スピーカー）は言うまでもなく、さらにコストがかかります。問題なく。したがって、基本的に各デジタルサンプルは無限に狭いインパルスであり、インパルスがサンプリングレートで繰り返されると、目的のベースバンド信号をそのままにしておく再構成フィルターでフィルター処理する必要のあるスペクトル画像が作成されます。したがって、ADCとDAC、およびおそらくオーディオのマスタリングでより高いレートを使用することは理にかなっていますが、犬とコウモリだけが聞くことができる周波数の送信と保存は、それらを生成できる機器（アンプ、スピーカー）は言うまでもなく、さらにコストがかかります。問題なく。したがって、基本的に各デジタルサンプルは無限に狭いインパルスであり、インパルスがサンプリングレートで繰り返されると、目的のベースバンド信号をそのままにしておく再構成フィルターでフィルター処理する必要があるスペクトル画像が作成されます。

基本的なオーディオアプリケーションを考えると、デジタルアナログ変換再構成フィルター（別名補間フィルター）はローパスアナログフィルターであり、スピーカーに行く前に出力ですべての画像スペクトルを削除し、フィルターの通過帯域にあるベースバンドスペクトルのみを保持します。ローパスフィルターのカットオフ周波数の内側。スピーカー自体も再構成ローパスフィルター特性の強力な部分であり、理想的なフィルターは適切な条件下で十分に緩和できることに注意してください。

補間フィルターのこの通過帯域（またはカットオフ周波数）は、理想的にはデジタル信号の入力サンプリングレートに従って選択する必要があります。元の信号がエイリアシングなしで44.1 kHzで適切にサンプリングされた場合、通常の条件下（システム内でサンプルレート変換がないと仮定）、出力 DACサンプリング周波数および関連する補間フィルターカットオフ周波数は44.1 kHzおよび22.05 kHzとして選択する必要があります。それぞれ。

入力が96 kHzでサンプリングされた場合、出力再構成DAC周波数は96 kHzでなければならず、再構成フィルターは48 kHzのカットオフ周波数を持っている必要があります。理論では、物事を説明するために理想的なインパルスと理想的なフィルターを使用しています（上で行ったように）しかし、実用的なDAC回路は、出力でのゼロ次ホールドと実際的なフィルターを使用します。

入力と出力のサンプリングレートに不一致がある場合、再生速度は録音速度と一致しません。また、必要な最小値（出力DACサンプリングレートのナイキスト周波数）よりも低いカットオフ周波数を選択すると、信号スペクトルが失われます。また、ナイキスト周波数よりも大きい補間フィルターのカットオフ周波数を選択すると、オーディオ出力に画像の歪みが生じます。

デジタルオーディオに関する宗教的な戦争の1つは、入力で96 kHzのサンプリングレートが本当に必要かどうかです。そして、コンセンサス（？）は、何度も行われた経験的テストに基づいて、それが必要というわけではないということです。しかし、愛好家はとにかく好きなサンプリングレートを自由に選択できます。