システムの「インパルス応答」と「周波数応答」とはどういう意味ですか？

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誰もが簡単な英語で周波数応答とインパルス応答の違いを述べることができますか？

— アリの
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インパルス応答と周波数応答が特徴づけるために有用である二つの属性である線形時不変（LTI）システム。これらは、特定の入力信号に対してLTIシステムの出力がどのようになるかを計算する2つの異なる方法を提供します。通常、連続時間LTIシステムは次のように示されます。

LTIシステム図

一般に、システムは、その入力信号を対応する出力信号マッピングします。LTIシステムには、通過する信号に非常に異なる変換を適用できる多くの種類があります。しかし、それらはすべて2つの重要な特性を共有しています。 $H$ $x(t)$ $y(t)$

システムは線形であるため、重ね合わせの原理に従います。簡単に言うと、2つの信号を線形結合してシステムに入力すると、出力は、信号が個別に通過した場合の出力と同じ線形結合になります。場合すなわち、の出力にマップおよびの出力にマップ、その後のすべての値に対して、及び、 $x_1(t)$ $y_1(t)$ $x_2(t)$ $y_2(t)$ $a_1$ $a_2$

H {a_{1} x_{1} (t) + a_{2} x_{2} (t)} = a_{1} y_{1} (t) + a_{2} y_{2} (t)

$H\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 y_1(t) + a_2 y_2(t)$

システムは時不変であるため、その特性は時間とともに変化しません。入力信号に遅延を追加する場合、単純に同じ遅延を出力に追加します。出力信号にマッピングされる入力信号場合、すべての値に対して、 $x(t)$ $y(t)$ $\tau$

H {x (t - τ)} = y (t - τ)

$H\{x(t - \tau)\} = y(t - \tau)$

離散時間LTIシステムには同じ特性があります。表記法は、不連続と連続の違いにより異なりますが、よく似ています。これらの特性により、インパルス応答と周波数応答を使用して、システムの動作を簡単に特徴付けることができます。これらは、異なるコンテキストで使用できるシステムに関する2つの視点を提供します。

インパルス応答：

インパルス用語で参照されるインパルス応答は、一般的に短時間の時間領域信号です。連続時間システムの場合、これはディラックデルタ関数ですが、離散時間システムの場合、通常はクロネッカーデルタ関数が使用されます。システムのインパルス応答（連続時間システムの場合は、離散時間システムの場合はと表記されることが多い）は、システム入力にインパルスが加えられたときに出力される信号として定義されます。 $\delta(t)$ $\delta[n]$ $h(t)$ $h[n]$

なぜこれが便利ですか？これにより、システムの出力が時間領域でどのようになるかを予測できます。上記の線形性と時不変性の特性を覚えていますか？システムの入力信号を一連のコンポーネントの合計に分解できる場合、出力はこれらの各コンポーネントのシステム出力の合計に等しくなります。入力信号をスケーリングされたインパルスとタイムシフトされたインパルスの合計に分解できるとしたらどうでしょうか？次に、出力はインパルス応答のコピーの合計に等しくなり、同じ方法でスケーリングおよびタイムシフトされます。

離散時間システムでは、任意の信号をスケーリングされたタイムシフトクロネッカーデルタ関数の合計として書き込むことができるため、これが可能です。 $x[n]$

x [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] δ [n - k]

$x[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] \delta[n - k]$

合計の各項は、その時点の値でスケーリングされたインパルスです。をLTIシステムに渡してを生成するとどうなりますか？シンプル：スケーリングおよび時間遅延インパルスを入力すると、出力でインパルス応答のスケーリングおよび時間遅延コピーが生成されます。あれは： $x[n]$ $x[n]$ $y[n]$

y [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} x [k] h [n - k]

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} x[k] h[n-k]$

ここで、はシステムのインパルス応答です。上記の方程式は、離散時間LTIシステムの畳み込み定理です。つまり、LTIシステムに入力される信号場合、システムの出力は、入力信号とシステムのインパルス応答の離散畳み込みに等しくなります。 $h[n]$ $x[n]$ $y[n]$

連続時間システムの場合、厳密な数学的な意味では上記の単純な分解は不可能ですが（ディラックデルタの幅はゼロで、高さは無限です）、工学レベルでは、これは近似的で直感的な問題の見方です。これらのシステムについても同様の畳み込み定理が成り立ちます。

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$

$h(t)$ $L^2$ $L^2$

要約すると、離散時間システムと連続時間システムの両方で、インパルス応答は、任意の入力信号に対してこれらのシステムの出力を計算できるため便利です。出力は、インパルス応答関数で畳み込まれた単純な入力信号です。

周波数応答：

LTIシステムの周波数応答も同様の機能を提供します。システムが入力信号に与える影響を計算できますが、これらの影響は周波数領域で示されます。フーリエ変換の定義を思い出してください：

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

さらに重要なのは、この図のために、その逆を見てください。

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi ft} df$

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $f$ $f$ 前述の線形結合で。これらのスケーリング係数は、一般に複素数です。複素数を見る方法の1つは、振幅/位相形式です。

X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)}

$X(f) = A(f) e^{j \phi(f)}$

$x(t)$ $A(f)$ $\phi(f)$ $x(t)$

ここで改善されます。指数関数は、線形時不変システムの固有関数です。この考え方は、線形代数の固有ベクトルと同様に、指数関数をLTIシステムに入力すると、同じ指数関数が得られ、（一般に複素数）値でスケーリングされます。これには、入力した指数関数の振幅と位相を変更する効果があります。

$x(t)$ $x(t)$ $X(f)$ $H$ $Y(f)$

Y (f) = H (f) X (f) = A (f) e^{j ϕ (f)} X (f)

$Y(f) = H(f) X(f) = A(f) e^{j \phi(f)} X(f)$

$H(f)$ $X(f)$ $X(f)$ $A(f)$ $\phi(f)$

それらをまとめる：

LTIシステムのインパルス応答と周波数応答は密接に関連しています。周波数応答は、単にシステムのインパルス応答のフーリエ変換です（この関係が成り立つ理由を確認するには、この他の質問への回答を参照してください）。したがって、連続時間システムの場合：

H (f) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) e^{- j 2 π f t} d t

$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi ft} dt$

そのため、システムのインパルス応答またはその周波数応答のいずれかを指定すると、もう一方を計算できます。システムの動作を完全に特徴付けるためには、どちらか一方で十分です。インパルス応答は時間領域で動作するときに役立ち、周波数応答は周波数領域での動作を分析するときに役立ちます。

— ジェイソンR
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1000回投票する方法はありますか？最高の答え..しかし、SOの制限として申し訳ありませんが、+ 1のみを与えて答えを受け入れることができます！：）どうもありがとう。。。

— アリの

8

すごい！私が見つけることができるどんな教科書よりもはるかに良い！

— ジェイス

1

素敵な答え！:)

— ジャリード

+1とこれを解決してくれたことに心から感謝します。:)

— コード化された14年

1

@heltonbikerいいえ、ステップ応答は冗長です。インパルス応答または周波数応答のいずれかで、LTIシステムを完全に特徴付けることができます。離散時間の場合、ステップ関数をインパルスの無限の合計として記述できることに注意してください。システムの線形性のため、ステップ応答は、適切に遅延されたインパルス応答の無限の合計にすぎません。

— ジェイソンR

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何かを一度強烈に叩き、それがどのように応答するかを時間領域でプロットします（オシロスコープやペンプロッターのように）。それはインパルス応答に近いでしょう。

トーンジェネレーターを入手して、さまざまな周波数で振動させます。増幅するいくつかの共振周波数。その他の場合、まったく応答しない場合があります。入力周波数に対する応答サイズと位相をプロットします。それは周波数応答に近いでしょう。

特定のシステムの一般的なクラス（システムは時間の経過とともにあまり変化せず、非線形性は目下の目的のために無視できるほど小さい）、2つの応答は関連しており、ラプラスまたはフーリエ変換が適用される場合があります関係を近似します。

— hotpaw2
ソース

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インパルス応答は、無限に短い持続時間と単位エネルギーの単一パルス（ディラックパルス）に対するシステムの応答です。周波数応答は、各周波数がシステムによって減衰または増幅される量を示します。

システムの周波数応答は、周波数領域に変換されたインパルス応答です。インパルス応答がある場合は、FFTを使用して周波数応答を見つけ、逆FFTを使用して周波数応答からインパルス応答に移行できます。

— ハン
ソース

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おそらく、これが唯一であるシステムに適用されることに留意すべきであるリニアと時不変

— ポール・R

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まもなく、時間応答と周波数応答の 2種類の基本的な応答があります。時間応答は、システムが瞬間的な外乱でどのように動作するかをテストし、周波数応答は連続外乱でそれをテストします。時間応答には、ステップ応答、ランプ応答、インパルス応答などが含まれます。周波数応答には正弦波応答が含まれます。

Aalto UniversityにはいくつかのコースMat-2.4129教材がここに自由にあります。最も関連性があるのはおそらくMatlabファイルです。なぜならフィンランド語のほとんどのものだからです。さらに興味がある場合は、以下のビデオで紹介ビデオを確認できます。私はそれらが自分自身に役立つと感じました。

私はLTIの問題について非常に初歩的な知識しか持っていないので、それらを以下で説明しますが、きっともっと多くの種類の問題があります！

線形時不変問題のある応答

LTI（線形時不変）問題では、入力と出力は同じ形式でなければなりません。正弦波入力は正弦波出力をもち、同様にステップ入力へのステップ入力結果があります。LTIシステムがない場合（フィードバックがある場合や、コントロール/ノイズと入力が相関している場合）、上記のすべてのアサーションが間違っている可能性があります。LTIを使用すると、位相シフトと振幅の変更の2つのタイプの変更を取得できますが、周波数は同じままです。いくつかの仮定を破ると、非相関仮定で言うと、入力と出力は非常に異なる形式になる可能性があります。

システムがLTIかどうかを調べる必要がある場合は、Wiener-Hopf方程式や相関分析などのツールを使用できます。Wiener-Hopf方程式は、ノイズの多いシステムで使用されます。結果を検証し、前提を検証することが不可欠です。そうでなければ、異なる応答で間違いを犯しやすくなります。ノイズの多いシステムでのインパルス応答の決定については、こちらをご覧ください。

参照資料

LTIに関するウィキペディアの記事はこちら

こことここでのさまざまな反応についての非常に良い紹介ビデオ-以下にいくつかのキーポイント。

— うん
ソース

（関連のない質問）：ビデオのスナップショットをどのように作成しましたか？

— アレクセイ

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@alexeyは、一部のアプリストアまたはブラウザアプリで「コラージュ」アプリを探します。

— hhh