状態空間で記述されたシステムの初期条件-LTIかどうか？

次のようなシステムがあるとします。

$$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t) +Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned}$$

どこ $x(t)$ 状態変数です。 $y(t)$ は出力であり、 $u(t)$入力です。すべての行列は定数です。同じ問題が離散的なケースにも当てはまります

$$\begin{aligned} x[n+1] &= Ax[n] +Bu[n] \\ y[n] &= Cx[n]+Du[n] \end{aligned}$$

非ゼロの初期条件を持つシステムはLTIにはなれないことが知られています。ただし、$x(0)\neq0$、上記のシステムがLTIにならない理由がわかりません。私の知る限り、システムがそのように表現されている場合、それは線形でなければならず、行列は$t$、それも時間不変でなければなりません。

したがって、定数行列を持つ状態空間で表されるため、LTIでなければならないシステムがありますが、LTIにすることはできません。 $x(0)\neq0$。

私はこの不条理な矛盾に私を導く推論の間違いを見ることができません。誰かがそれを指摘できますか？

私は大学生だけなので、おそらく私の答えは少し素朴ですが、オッペンハイムによれば、線形定数係数微分/微分方程式が非LTIになる原因はゼロ以外の初期条件だけではありません。ゼロの固定 初期条件を持つ微分/微分方程式もLTIにはなりません。線形定数係数微分/微分方程式が因果的なLTIシステムを記述する場合、初期条件は初期静止の条件を満たす必要があります。つまり、入力が非ゼロになるまで出力は非ゼロになりません。

質問（状態空間表現）に関して、システムへの入力が $u(t)$ そして出力は $y(t)$。線形システムの「ゼロ入力/ゼロ出力」プロパティは、

$$y(t) = C x(t) + Du(t)$$ もし $x(t) = 0$、私たちが考慮するだけの場合 $u(t)$ システムへの入力となるが、線形性の概念を状態空間表現に拡張して、状態ベクトルを説明できるように見える $x(t)$。いずれにせよ、オッペンハイムが微分方程式について話すときに参照する初期条件（出力の条件）$y(t)$ およびその導関数）は、質問で参照した初期条件（状態ベクトルの条件）と同じではありません。 $x(t)$）。繰り返しますが、私が正しいかどうかはわかりませんし、私もいつもこれに戸惑っていますが、おそらくこれが役立つでしょう。

あなたが第5章を見れば：

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

「LTI状態空間モデルのプロパティ」と題された式5.33には、初期条件や、私が知っている他のどの本（私は修正済み、本が1冊あります）にも問題がないようです。オッペンハイムが狂気に触れられていない限り、私は彼の「ゼロ入力線形」という用語の使用により、初期条件がLTIシステムを「非線形」として不適格にしないという彼の特徴付けを受け入れる傾向があります。

ノートの冒頭（およびOppenheim and Shaefer 3rd edition）では、LTIシステムは次のように示されています。

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[ n -k]$$ 必要ありません $h[n]$ 因果的または安定している。 $x[n]$ 満足する必要はありません $x[n]=0 \;\text{for} \; n <0$ 。

本文では、歴史全体を考慮する必要があることが強調されています。 $x[n]$のためだけでなく $n \ge 0$。

させる

$$x[n] = \hat{x}[n]+\tilde{x}[n]$$ どこ $$\hat{x}[n] = \begin{cases} x[n]\; \text{for}\; n<0 \; \text{and}\\ 0 \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

そして

$$\tilde{x}[n] = \begin{cases}0\; \text{for} \; n<0 \; \text{and}\; \\ x[n] \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$ 直線性による。

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k] + \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{x}[k] h[ n -k]$$ もし $y[n]$ 因果関係です $$y[n]=\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \tilde{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

重要な点は、初期条件が以前の入力を考慮していることです。どこ$n=0$ 参照されている $x[n]$これは任意であり、これは時間不変性の別の兆候です。初期条件は、システムを悩ます任意の値ではありません。もし$x[n] = 0$ ために $n <0$ 初期条件はゼロです。

他のことを試してみましょう。しましょう$z[n]=\tilde{x}[n+1]$ （1サンプル進む）および $\tilde{x}[n]$、システムは論争のないLTIでした。でも今、

$$y[n]=\underbrace{ z[-1] h[n]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} z[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$ これで初期条件が整いました。1サンプルの前方シフトは、LTIシステムを非線形にしますか？

問題の根本的な論理的誤りは、ゼロ状態の線形性の定義を使用し、それをゼロ入力ケースに適用することです。