状態空間で記述されたシステムの初期条件-LTIかどうか?


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次のようなシステムがあるとします。

x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

どこ x(t) 状態変数です。 y(t) は出力であり、 u(t)入力です。すべての行列は定数です。同じ問題が離散的なケースにも当てはまります

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]y[n]=Cx[n]+Du[n]

非ゼロの初期条件を持つシステムはLTIにはなれないことが知られています。ただし、x(0)0、上記のシステムがLTIにならない理由がわかりません。私の知る限り、システムがそのように表現されている場合、それは線形でなければならず、行列はt、それも時間不変でなければなりません。

したがって、定数行列を持つ状態空間で表されるため、LTIでなければならないシステムがありますが、LTIにすることはできません。 x(0)0

私はこの不条理な矛盾に私を導く推論の間違いを見ることができません。誰かがそれを指摘できますか?


こんにちはTendero:私はそのような問題に対処してきました(実際にははるかに単純です)。初期条件の問題は、一般的な方法でステップ応答を書くことが困難になることです(初期条件は毎回変わる可能性があるため)。それは初期条件に依存します。これがあなたの質問に関連しているかどうかはわかりませんが、関連している可能性があります。繰り返しますが、私は計量経済学の出身なので、非常に異なる世界です。誰かがこれを説明できることを間違いなく願っています。
マークリーズ2018年

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私はあなたとあなたの参照が意味論に惑わされていると本当に思います。私はいくつかの参考文献を調べますが、LTIと線形性は、特定の先行(つまり、履歴)に依存しない構造的な項目です。これは「線形」システムでは「初期条件」です。
rorogers

@rrogersオッペンハイムの信号とシステムの本をチェックできます。「差分および差分方程式によって記述された因果関係LTIシステム」という名前のセクション(私の版では2.4です)で、このトピックに取り組んでいます。私が何かを誤解している場合は教えてください。ただし、著者は、初期以外の休止状態のシステムはLTIではないと明確に述べています。
Tendero

あなたの本(オッペンハイムの本でも)を訂正するのは私から遠く離れています。ただし、「システム」に変数の値が含まれているか、作用したハードウェアが含まれているかを検討してください。RCネットワークについて、キャップの電圧がゼロ以外の場合、新しい理論を要求しますか。いいえ、これは過渡応答と呼ばれ、同じ方程式で考慮されます。LTI微分方程式のラプラス変換を見てください。これには、導関数に対応する「初期」条件があります。「システム」は、測定が行われるタイミングや入力に依存しないと思います。
rorogers

でください一目:web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdfvtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/78864/...。どちらも、方程式を変更することさえ考慮せずに、LTIの説明に初期条件を組み込んでいます。別の視点(実際には同じ):不定積分が与えられた場合、評価時に開始終了を確立する必要があります。最初は、初期条件の直接の類似物です。ところで:ほとんどの初期条件は、デルタ関数とその導関数によってエミュレートできます。
rorogers

回答:


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私は大学生だけなので、おそらく私の答えは少し素朴ですが、オッペンハイムによれば、線形定数係数微分/微分方程式が非LTIになる原因はゼロ以外の初期条件だけではありません。ゼロの固定 初期条件を持つ微分/微分方程式もLTIにはなりません。線形定数係数微分/微分方程式が因果的なLTIシステムを記述する場合、初期条件は初期静止の条件を満たす必要があります。つまり、入力が非ゼロになるまで出力は非ゼロになりません。

質問(状態空間表現)に関して、システムへの入力が u(t) そして出力は y(t)。線形システムの「ゼロ入力/ゼロ出力」プロパティは、

y(t)=Cx(t)+Du(t)
もし x(t)=0、私たちが考慮するだけの場合 u(t) システムへの入力となるが、線形性の概念を状態空間表現に拡張して、状態ベクトルを説明できるように見える x(t)。いずれにせよ、オッペンハイムが微分方程式について話すときに参照する初期条件(出力の条件)y(t) およびその導関数)は、質問で参照した初期条件(状態ベクトルの条件)と同じではありません。 x(t))。繰り返しますが、私が正しいかどうかはわかりませんし、私もいつもこれに戸惑っていますが、おそらくこれが役立つでしょう。

オッペンハイムが初期条件を参照していることを忘れていたので、これは正しい答えになると思います y(t)、州 x(t)状態空間表現では、出力ではありません。まだよくわかりませんが、頭に釘を打ったと思いますので、お答えします。
Tendero 2018

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あなたが第5章を見れば:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

「LTI状態空間モデルのプロパティ」と題された式5.33には、初期条件や、私が知っている他のどの本(私は修正済み、本が1冊あります)にも問題がないようです。オッペンハイムが狂気に触れられていない限り、私は彼の「ゼロ入力線形」という用語の使用により、初期条件がLTIシステムを「非線形」として不適格にしないという彼の特徴付けを受け入れる傾向があります。

ノートの冒頭(およびOppenheim and Shaefer 3rd edition)では、LTIシステムは次のように示されています。

y[n]=k=x[k]h[nk]
必要ありません h[n] 因果的または安定している。 x[n] 満足する必要はありません x[n]=0forn<0

本文では、歴史全体を考慮する必要があることが強調されています。 x[n]のためだけでなく n0

させる

x[n]=x^[n]+x~[n]
どこ
x^[n]={x[n]forn<0and0forn0

そして

x~[n]={0forn<0andx[n]forn0
直線性による。

y[n]=k=1x^[k]h[nk]+k=0x~[k]h[nk]
もし y[n] 因果関係です
y[n]=k=1x^[k]h[nk]zero input linear+k=0nx~[k]h[nk]zero state linear,n0

重要な点は、初期条件が以前の入力を考慮していることです。どこn=0 参照されている x[n]これは任意であり、これは時間不変性の別の兆候です。初期条件は、システムを悩ます任意の値ではありません。もしx[n]=0 ために n<0 初期条件はゼロです。

他のことを試してみましょう。しましょうz[n]=x~[n+1] (1サンプル進む)および x~[n]、システムは論争のないLTIでした。でも今、

y[n]=z[1]h[n]zero input linear+k=0nz[k]h[nk]zero state linear,n0
これで初期条件が整いました。1サンプルの前方シフトは、LTIシステムを非線形にしますか?

問題の根本的な論理的誤りは、ゼロ状態の線形性の定義を使用し、それをゼロ入力ケースに適用することです。


オッペンハイムは、彼の本 『Signals and Systems』の中で、初期以外の静止条件を含む微分/微分方程式によって記述されたシステムはLTIではないと述べています。可能であれば、「差分および差分方程式によって記述された因果関係LTIシステム」のセクションをチェックしてください(私の版では2.4です)。それはあなたの答えと一致していますか?私はここで本当に混乱しています。
Tendero

これらのメモは彼のものであり、2001年に出ました。私はLathiと共に育ちました。また、システムはゼロ状態とゼロ入力線形の両方でなければならないことを明示的に述べています。用語の因果を注意してください

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この例を考えてみてください。電圧付きの充電済みコンデンサがありますV0。電圧源を接続するとv1(t) それに対して、コンデンサの電圧は時間とともに変化しますが、それは V0。電圧源を接続するとv2(t)、同じことが起こります。しかし、電圧源を接続するとv3(t)=v1(t)+v2(t)、コンデンサの電圧(ここでは出力になります)は 2V0t=0。代わりに、V0。したがって、重ね合わせの原理はここでは機能しないため、システムは線形ではありません。少なくとも、それは私の推論です。間違いはありますか?
Tendero

彼の例について考えてみてください。馬鹿がランダムに充電コンデンサをシステムに押し込むもの。(ESDトレーニングに失敗している必要があります)唯一の現実的な状況は、充電されたコンデンサが蓄積された履歴を表すことです。

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チル、冒とくの必要はありません。ここでは理想的な概念について話していますが、これは純粋に数学的であり、本質的に非線形であるため、厳密な現実のケースに焦点を当てれば、線形性についてさえ話すことはありません。私の例は、OPで提示された問題をかなり単純な方法で示していると本当に思います。ちなみに、他のメモの方が新しいからといって、「DSPの聖書」の信用を落とすだけではありません。少なくとも今のところ、この回答は役に立たないと思います。
Tendero
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