オイラーの式の「e」を別の数値に置き換える

定数以外の実数を使用しても、オイラーの公式は有効ですか？たとえば、を5に置き換えると、式は次のようになります： 。$e$$e$$5^{it}$

私はMatlabでこのアイデアを試し、をいくつかの他の実数（1.5、10、2.1など）に置き換えました。そのたびに、プロットはまだ余弦波と正弦波のように見えました。cosとsinの頻度は、ベースによって変化していました。$e$

おおまかな私のアプローチは次のとおりです。

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

興味があるとしますなお、そうのように書くことができます。

$$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$$ $$M = e^{\log M},$$ $(1)$

$$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$$ これは複雑な正弦波です周波数はです。そのため、代わりにを使用すると、周波数が変化します。$f_0 \log M$$M$$e$

面白い質問ですね。どの非ゼロ複素数が古典的な公式で「ように振る舞う」という特性を持つか、つまり、 すべての複素数であるかを見てみましょう。便宜上、書けるとしましょう$w$$e$

$$e^z = w^z$$ $z=x+iy$ $$w=re^{it}$$

シンボルは可能な複数の値を取ります $w^z$

$$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$$

つまり、場合、なります。 for some。しかし、これは（両側で実数部と虚数部を同等にすることにより） これは、および 場合にのみ、すべての（つまり、すべての）で発生する可能性があります。$e^z=w^z$

$$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$$ $n$ $$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$$ $z$$x,y$$r=e$$t=k=n=0$

しかし、これはを意味するので、トリックを実行する他の複素数はありません。$w =e\cdot e^{0i}=e$$w$

すべてのaについて、、 " "および "ln（x）"が "逆関数であるためです。したがって。次に$a= e^{ln(a)}$$e^x$

$$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$$ $$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$$