フーリエ変換アイデンティティ

私たちは以下を知っています、

F { x （− t ）} = X （− f ）F { x ∗（t ）} = X ∗（− f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

さて、もし何らかの信号が

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

では、次のことを想定しても安全でしょうか。

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

それとも信号の種類に依存しますか？

あなたは正しいです。あなたの最後の方程式は、が実際に評価されているという言い方の単純なものです。$X(f)$

一般に、それが1つのドメインで実数である場合、もう1つのドメインで共役対称です。

はい、等式の場合。（2）と（3）が「信号の種類」を保持し（そうする）、（5）が保持する必要があります。

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

@Deveと@Hilmarの回答は技術的に完璧です。いくつかの質問とともに、いくつかの追加の洞察を提供したいと思います。

まず、あなたがこの条件を満たす信号の知って逆時間/共役アイデンティティを：

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

最初の明らかなアイデアは、実信号と対称信号から選択することです。フーリエフレームワークの自然なものはコサインです。

ここで、もう少し複雑にしてみましょう（しゃれた意図）。

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

（複素指数またはシソイドと呼ばれる）も解決策です。そして、その（一般化された関数としての）そのフーリエ変換は実際に（何らかの形で「無限」であるにもかかわらず）実在します。さらに、シソイドと実際の係数の線形結合はそれを行います。

あなたの質問は、フーリエ双対性がどのように重要であり、それを使用していくつかの問題を単純化できるかを示しています。実信号のDTFTの対称性に見られるように：

$x(n)$

$x$$t$$f$

Heyserコルクスクリュー/スパイラルとも呼ばれます。